Potęgowanie liczb zespolonych

[pawelbizu]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania:
Korzystają z definicji działań na liczbach zespolonych obliczyć:
a) \(\displaystyle{ (5,2)^{-1}}\)
b) (2,5) \(\displaystyle{ \cdot (4,5)^{-1}}\)
Czy tu trzeba skorzystać z jakiegoś wzoru ?

[Inkwizytor]

1. Masz znaleźć liczbę odwrotną do (5,2) czyli szukasz takiego (a,b) aby \(\displaystyle{ (5,2) \cdot (a,b)=(1,0)}\) Sprawdź jak zdefiniowane masz mnożenie liczb zespolonych przy takiej notacji.
2. Tu analogicznie. Najpierw znajdź liczbę odwrotną do (4,5)

[pawelbizu]

\(\displaystyle{ (5.2) \cdot (a,b) = (1,0)}\)

mnożenie: \(\displaystyle{ (a,b) \cdot (c,d) = (ac-bd) + (ad+bc)}\)

czyli: \(\displaystyle{ (5,2) \cdot (a,b)=(1,0)}\)
\(\displaystyle{ (5a-2b)+(5b+2a) = (1,0) \\
(25ab+ 10a ^{2}-10b ^{2}-2ab)=(1,0)}\)
i co dalej ?

-- 26 paź 2011, o 12:40 --

\(\displaystyle{ (5.2) \cdot (a,b) = (1,0)}\)
A można to zapisać \(\displaystyle{ (a,b)= \frac{(1,0)}{(5,2)}}\)

[Inkwizytor]

(5.2) \(\displaystyle{ \cdot}\) (a,b) = (1,0)

mnożenie: (a,b) \(\displaystyle{ \cdot}\) (c,d) = (ac-bd) + (ad+bc)

czyli: (5,2) \(\displaystyle{ \cdot}\) (a,b)=(1,0)
(5a-2b)+(5b+2a) = (1,0)
(25ab+\(\displaystyle{ 10a ^{2}-10b ^{2}-2ab)=(1,0)}\)
i co dalej ?

Nie do końca
mnożenie: \(\displaystyle{ (a,b) \cdot (c,d) = (ac-bd , ad+bc)}\)
Czyli ten wynik ma się równać (1,0) a więc \(\displaystyle{ (ac-bd , ad+bc)=(1,0)}\)

(5.2) \(\displaystyle{ \cdot (a,b) = (1,0)}\)
A można to zapisać (a,b)= \(\displaystyle{ \frac{(1,0)}{(5,2)}}\)

Teoretycznie można tylko że nie masz wzoru na dzielenie liczb zespolonych, więc zapis ten nic nie daje.

[pawelbizu]

\(\displaystyle{ (a,b) \cdot (5,2) = (1,0) \\
(5a-2b,2a+5b)=(1,0)}\)

dobrze? i co dalej można zrobic ?

[Inkwizytor]

Kiedy dwie liczby zespolone są sobie równe? Tzn. kiedy zachodzi: \(\displaystyle{ (a,b)=(c,d)}\)?

[pawelbizu]

dobrze:
\(\displaystyle{ a) \ (17,5 , -7)}\)