Witam!!
Mam takie równanie:
\(\displaystyle{ Z^{3} + i - 1 = 0 \qquad; Z\in \mathbb{C} \\ Z=\sqrt[3]{1-i} \\ w=1-i = (x=1;y=-1)}\)
\(\displaystyle{ |w|=\sqrt{2}}\)
Chcąc przejść w postać trygonometryczną obliczam:
\(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{\Re}{|w|}=\frac{\sqrt{2}}{2} \wedge \sin \varphi = \frac{\Im}{|w|} = - \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Z tego mi wynika, że punkt \(\displaystyle{ Z}\) jest w IV ćwiartce.
Teraz muszę ustalić \(\displaystyle{ \varphi = \frac {7}{4} \pi}\) Zrobiłem to w ten sposób, że gdy na wykresie umieszczę punkt \(\displaystyle{ Z}\) korzystam z zas na arg.główny, czyli kąt będzie miał miarę w przeciwnym kierunku do ruchu wskazówek zegara. Teraz nie wiem czy robię poprawnie: Obliczam ten mniejszy kąt i odejmuję od \(\displaystyle{ 2 \pi}\). Sam do tego doszedłem, bo za nic nie mogę sobie przypomnieć jak to na ćwiczeniach było rozwiązywane. Proszę o ewentualne poprawienie mojego schematu na ustalenie Argumentu głównego.
Teraz zamieniam to w postać trygonometryczną:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{w}=\sqrt[3]{\sqrt{2}}(\cos \frac {\frac {7}{4} \pi + 2k\pi}{3}+i\sin \frac{\frac{7}{4}\pi+2k\pi}{3}) \qquad ; k\in0,1,2}\)
Uwzględniając \(\displaystyle{ k}\) obliczam: \(\displaystyle{ w_{0} = \sqrt[3]{\sqrt{2}}(\cos \frac {7}{12} \pi+i\sin \frac{7}{12}\pi}) \\ w_{1} = \sqrt[3]{\sqrt{2}}(\cos \frac {15}{12} \pi}+i\sin \frac{15}{12}\pi}) \\ w_{2} = \sqrt[3]{\sqrt{2}}(\cos \frac {23}{12} \pi }+i\sin \frac{23}{12}\pi})}\)
Niestety w tym momencie również pojawia się problem z umieszczeniem tego na wykresie. Po pierwsze nie wiem jak nanieść promień: \(\displaystyle{ \sqrt[3]{\sqrt{2}}}\) na wykres i w jaki sposób odczytać te \(\displaystyle{ 3}\) kąty. Wiem, że ma wyjść trójkąt równoramienny....
Proszę o rozjaśnienie moich wątpliwości Z góry THX