1. Wykonaj działania. Wyniki przedstawić w postaci algebraicznej.
a) \(\displaystyle{ Im( z_{1}*Re z_{2})}\) \(\displaystyle{ z_{1} \rightarrow}\) jest sprzężone nie umiałem tego zrobić
b) \(\displaystyle{ \frac{iRe[z_{1}+iIm z_{2}]}{z_{1}- z_{2} }}\) gdzie \(\displaystyle{ z_{1}=1-8i, z_{2}=3+4i \rightarrow}\) \(\displaystyle{ z_{2}}\) w mianowniku jest sprzężone
2. Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb spełniających warunek:
\(\displaystyle{ 0<Im(3iz-4i) \le 1}\)
3. Obliczyć
a) \(\displaystyle{ \sqrt(- \sqrt{3}+i)^{320}}\)
b) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-64}}\)
4. Rozwiązać równania
a) \(\displaystyle{ 5z+(4+i)z=1+2i}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ z}\) jest liczbą sprzężoną
b) \(\displaystyle{ z^{2}+5iz+5=0}\)
Próbuje to rozwiązywać, ale mi nie wychodzi... Prosiłbym o pomoc
-- 26 paź 2011, o 13:10 --
1. a) \(\displaystyle{ Im(1-8i)*Re(3+4i)= Im[(1+8i)*(3+4i)]= Im (3+4i+24i+32 i^{2}= Im (28i-29) ....}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{iRe[1-8i+i(3+4i)]}{1-8i-3-4i}= \frac{iRe[1-8i+3i+4 i^{2} ]}{-12i-2}= \frac{iRe[4 i^{2} i5i+1]}{-12i-2}}\)
2. \(\displaystyle{ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ Im(3i(x+yi)-4i \le 1}\)
\(\displaystyle{ (3xi+3y i^{2}-4i) \le 1}\)
\(\displaystyle{ i(3x+3yi-4) \le 1}\)
\(\displaystyle{ 3x-4 \le 1}\)
\(\displaystyle{ x \le \frac{5}{3}}\)
3. a) \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{3+1}=2}\)
\(\displaystyle{ sin\varphi = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\varphi= -\frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ \varphi= \frac{5}{6} \pi}\)
\(\displaystyle{ z^{320} = 2^{320} (cos320 \frac{5}{6} \pi + isin320 \frac{5}{6} \pi)= 2^{320} (cos \frac{800}{3} \pi + isin \frac{800}{3} \pi )= 2^{320}( cos \frac{2}{3} \pi + isin \frac{2}{3} \pi )= 2^{320}( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{2} }{1}}\)
b)\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-64}, n=3, |-64|=64}\)
\(\displaystyle{ sin\varphi= 0}\)
\(\displaystyle{ cos\varphi= -1}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \varphi= \pi}\)
\(\displaystyle{ w_{0}= 64^{3} (cos \pi + isin \pi)= 64^{3} (0+(-1))= -64^{3}}\)
\(\displaystyle{ w_{1}= 64^{3} (cos 2 \pi + isin 2 \pi)= 64^{3} (0+1)= 64^{3}}\)
\(\displaystyle{ w_{2}= 64^{3} (cos 4 \pi + isin4 \pi)= 64^{3} (0+(-1))= 64^{3}}\)
4. a) \(\displaystyle{ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ 5(x+yi)+(4+i)x-yi=1+2i}\)
\(\displaystyle{ 5x+5yi+4x+ix-4yi-y i^{2}=1+2i}\)
\(\displaystyle{ 9x+yi+ix-y i^{2}=1+2i}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 9x+y=1\\ x+y=2 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow y=-9x+1}\)
\(\displaystyle{ x-9x+1=2}\)
\(\displaystyle{ -8x-1 /*(-8)}\)
\(\displaystyle{ x= - \frac{1}{8}}\)
\(\displaystyle{ 9*(- \frac{1}{8})+y=1}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{9}{8}+1}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{17}{8}}\)
b)\(\displaystyle{ z^{2}+5iz-5=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=25-4*(-5)= \sqrt{45} = {-3 \sqrt{5}i, 3 \sqrt{5}i }}\)
\(\displaystyle{ z_{1} = \frac{-5+3 \sqrt{5}i}{2}= - \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ z_{2}= \frac{-5-3 \sqrt{5}i}{2}= - \frac{5}{2} - \frac{3}{2} \sqrt{5}}\)