(duże) potęgowanie działań z liczbami zespolonymi

[koala1992d]

Witam, mam 2 zadanka podobnej postury:) niestety jest to dla mnie czarna magia;/
1. \(\displaystyle{ \left( \frac{2}{ \sqrt{2}} - \frac{2}{ \sqrt{2}}i\right) ^{25}}\)

2. \(\displaystyle{ \frac{\left(i+ \sqrt{3} \right) ^{32}}{\left( \frac{2}{ \sqrt{2} }+\frac{2}{ \sqrt{2}i }\right) ^{28}}}\)

Wynik musi być w postaci \(\displaystyle{ z=x+iy}\), te litery \(\displaystyle{ x,y}\) są liczbami rzeczywistymi zaokrąglonymi do 2 miejsca po przecinku.

[ares41]

Oba robisz podobnie wyciągając \(\displaystyle{ \frac{2}{ \sqrt{2}}= \sqrt{2}}\) przed nawias.

[JakimPL]

Można zamienić na postać trygonometryczną i skorzystać ze wzoru de Moivre'a

\(\displaystyle{ z = i + \sqrt{3} \Rightarrow [a = \sqrt{3}, b = 1]}\)

Stąd moduł \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+1^2}=\sqrt{4}=2}\). Kąt wyliczamy z tangensa:

\(\displaystyle{ \tan \phi = \frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \phi = \frac{\pi}{6}}\)

A więc: \(\displaystyle{ z = 2 \left(\cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6} \right)}\)

Podnosząc do \(\displaystyle{ 32}\) potęgi, zgodnie ze wzorem:

\(\displaystyle{ z^{32}= 2^{32} \left(\cos\frac{\pi}{6}\cdot 32 + i \sin\frac{\pi}{6}\cdot 32 \right) = 2^{32} \left(\cos\frac{16 \pi}{3} + i \sin\frac{16\pi}{3} \right) = 2^{32} \left(-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}\)

Może i żmudne, ale działa . Podobnie z resztą, potem skrócić przez co się da tak powstałe ułamki.