rozkład na ułamki proste

[Gatsby]

Mam problem z tym jak rozłożyć na ułamki proste takie wyrażenie:
\(\displaystyle{ \frac{e^{iz}}{z^2+1} (1)}\)
Bieguny to oczywiście \(\displaystyle{ \pm i}\), więc postać ułamków mam taką:
\(\displaystyle{ \frac{A}{z-i} + \frac{B}{z+i}}\).
Porównuję i wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ cos(z) + isin(z) = z(A+B) +i(A-B).}\)
I tu się zatrzymałem, bo nie wiem czy z rozkładać na x+iy, czy co.
Nawiasem mówiąc przedmiotem moich obliczeń jest całka krzywoliniowa z (1) po krzywej C:|z|=2.
Wiem, że jest inne rozwiązanie polegające na deformacji konturu, ale chciałem też rozkminić ten rozkład. Odpowiedź dla całki to \(\displaystyle{ \pi (1-e^2)/e}\).
Z góry dzięki.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \frac{1}{z^2+1} = \frac{1}{2 \mathrm i} \cdot \frac{ z+ \mathrm i - \left( z- \mathrm i \right)}{\left( z + \mathrm i \right) \left( z- \mathrm i \right)} = \frac{1}{2 \mathrm i} \left( \frac{1}{z- \mathrm i} - \frac{1}{z+ \mathrm i} \right)}\)

więc

\(\displaystyle{ \frac{e^{\mathrm iz}}{z^2+1} = \frac{e^{\mathrm iz}}{2 \mathrm i} \left( \frac{1}{z- \mathrm i} - \frac{1}{z+ \mathrm i} \right)}\)