Zbadaj zbieżność szeregu:
a)\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{i \cdot n \frac{ \pi }{3} }}{n}}\)
próbowałam z kryt. d'Alemberta, wyszło mi 1 zatem nie rozstrzyga.
b)\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(1+i)^n}{i( \sqrt{2} )^n}}\)
próbowałam z kryt. Cauchy'ego, wyszło mi 1 zatem nie rozstrzyga, znalazłam podpowiedź żeby wykazać, że nie spełnia warunku koniecznego, ale nie wiem jak to zrobić.
Zbieżność szeregu
-
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Zbieżność szeregu
b)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left| \frac{(1+i)^n}{i( \sqrt{2} )^n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left( \frac{\left| 1+i\right| }{\left| i\sqrt{2}\right| }\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)^n=\lim_{n\to\infty}1^n=1\ne 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left| \frac{(1+i)^n}{i( \sqrt{2} )^n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left( \frac{\left| 1+i\right| }{\left| i\sqrt{2}\right| }\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)^n=\lim_{n\to\infty}1^n=1\ne 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 93
- Rejestracja: 19 paź 2009, o 13:19
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 26 razy
Zbieżność szeregu
Zrobiłam to dokładnie tak samo, ale w notatkach mam że trzeba badać granicę \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } z_n}\), więc nie wiem właśnie czy jak policzę granicę z modułu \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } |z_n|}\)to sprawdzam ten sam warunek? Myślałam, że skoro \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } |z_n| \neq 0}\) to znaczy że szereg nie jest zbieżny bezwzględnie, ale może być jeszcze zbieżny warunkowo i to trzeba sprawdzić, mylę się?
-
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Zbieżność szeregu
To jest ten sam warunek, bo
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}z_n=a \Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}|z_n-a|=0}\)
Poza tym tutaj badamy granicę ciągu \(\displaystyle{ z_n}\), a nie sumę szeregu \(\displaystyle{ \sum z_n}\), więc nie ma czegoś takiego jak zbieżność warunkowa
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}z_n=a \Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}|z_n-a|=0}\)
Poza tym tutaj badamy granicę ciągu \(\displaystyle{ z_n}\), a nie sumę szeregu \(\displaystyle{ \sum z_n}\), więc nie ma czegoś takiego jak zbieżność warunkowa
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Zbieżność szeregu
a) Spróbuj uprościć i następnie ograniczyć
\(\displaystyle{ e^{\frac{\pi \mathrm i}{3}} + e^{\frac{2 \pi \mathrm i}{3}} + e^{\frac{3 \pi \mathrm i}{3}} + \ldots + e^{\frac{n \pi \mathrm i}{3}}=\cdots}\)
to będzie można skorzystać z kryterium Dirichleta.
\(\displaystyle{ e^{\frac{\pi \mathrm i}{3}} + e^{\frac{2 \pi \mathrm i}{3}} + e^{\frac{3 \pi \mathrm i}{3}} + \ldots + e^{\frac{n \pi \mathrm i}{3}}=\cdots}\)
to będzie można skorzystać z kryterium Dirichleta.
-
- Użytkownik
- Posty: 93
- Rejestracja: 19 paź 2009, o 13:19
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 26 razy
Zbieżność szeregu
Już wszystko wiem, obaj panowie dostają pochwałę oczywiście. Temat uważam za zamknięty