Postać wykładnicza i trygonometryczna

[zeks]

Witam. Proszę o pomoc w przedstawieniu postaci wykładniczej i trygonometrycznej następujących przykładów:
\(\displaystyle{ \left( 1+2i \right) \left( 1-i \right) \\
1+\cos \frac{ \pi }{4}+i\sin \frac{ \pi }{4} \\
2+i\sin \frac{ \pi }{6} \\
\frac{ \pi }{4}}\)

Z góry dziękuję za udzieloną mi pomoc.

[JakimPL]

\(\displaystyle{ (1+2i)(1-i) = 1 +2i -i - 2i^2 = 3 + i = z, [a=3, b=1]}\)

Postać trygonometryczna jest postaci:

\(\displaystyle{ z=|z|\left( \cos \phi + i \sin \phi\right)}\)

Liczymy zatem moduł:

\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}}\)

Należy wyznaczyć argument (kąt):

\(\displaystyle{ \tan \phi= \frac{b}{a} = \frac{1}{3} \Rightarrow \phi = \arctan{\frac{1}{3}}\)

Dokładnej wartości nie jesteśmy w stanie podać.

A zatem \(\displaystyle{ z = \sqrt{10} \left( \cos \arctan{\frac{1}{3} + i \sin \arctan{\frac{1}{3}\right)}\).

Postać wykładnicza wygląda natomiast następująco:

\(\displaystyle{ z = |z| e^{i\phi}}\)

Moduł znamy, kąt również, a zatem wystarczy podstawić to, co już wiemy:

\(\displaystyle{ z = \sqrt{10}e^{i \arctan{\frac{1}{3}}}\)

Analogicznie z resztą. Pozdrawiam.