Witam. Proszę o pomoc w przedstawieniu postaci wykładniczej i trygonometrycznej następujących przykładów:
\(\displaystyle{ \left( 1+2i \right) \left( 1-i \right) \\
1+\cos \frac{ \pi }{4}+i\sin \frac{ \pi }{4} \\
2+i\sin \frac{ \pi }{6} \\
\frac{ \pi }{4}}\)
Z góry dziękuję za udzieloną mi pomoc.
Postać wykładnicza i trygonometryczna
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Postać wykładnicza i trygonometryczna
\(\displaystyle{ (1+2i)(1-i) = 1 +2i -i - 2i^2 = 3 + i = z, [a=3, b=1]}\)
Postać trygonometryczna jest postaci:
\(\displaystyle{ z=|z|\left( \cos \phi + i \sin \phi\right)}\)
Liczymy zatem moduł:
\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}}\)
Należy wyznaczyć argument (kąt):
\(\displaystyle{ \tan \phi= \frac{b}{a} = \frac{1}{3} \Rightarrow \phi = \arctan{\frac{1}{3}}\)
Dokładnej wartości nie jesteśmy w stanie podać.
A zatem \(\displaystyle{ z = \sqrt{10} \left( \cos \arctan{\frac{1}{3} + i \sin \arctan{\frac{1}{3}\right)}\).
Postać wykładnicza wygląda natomiast następująco:
\(\displaystyle{ z = |z| e^{i\phi}}\)
Moduł znamy, kąt również, a zatem wystarczy podstawić to, co już wiemy:
\(\displaystyle{ z = \sqrt{10}e^{i \arctan{\frac{1}{3}}}\)
Analogicznie z resztą. Pozdrawiam.
Postać trygonometryczna jest postaci:
\(\displaystyle{ z=|z|\left( \cos \phi + i \sin \phi\right)}\)
Liczymy zatem moduł:
\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}}\)
Należy wyznaczyć argument (kąt):
\(\displaystyle{ \tan \phi= \frac{b}{a} = \frac{1}{3} \Rightarrow \phi = \arctan{\frac{1}{3}}\)
Dokładnej wartości nie jesteśmy w stanie podać.
A zatem \(\displaystyle{ z = \sqrt{10} \left( \cos \arctan{\frac{1}{3} + i \sin \arctan{\frac{1}{3}\right)}\).
Postać wykładnicza wygląda natomiast następująco:
\(\displaystyle{ z = |z| e^{i\phi}}\)
Moduł znamy, kąt również, a zatem wystarczy podstawić to, co już wiemy:
\(\displaystyle{ z = \sqrt{10}e^{i \arctan{\frac{1}{3}}}\)
Analogicznie z resztą. Pozdrawiam.