Liczby zespolone, szukanie pierwiastków 2-giego stopnia

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Kryk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 19 lut 2009, o 17:18
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 15 razy

Liczby zespolone, szukanie pierwiastków 2-giego stopnia

Post autor: Kryk »

Znaleźć wszystkie pierwiastki 2-giego stopnia \(\displaystyle{ z=- \sqrt{3}+i}\)
Proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania

\(\displaystyle{ z=- \sqrt{3}+i}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right\right|= \sqrt{3+1}=2}\)

\(\displaystyle{ - \sqrt{3}+i=2\left(\cos \alpha +i\sin \alpha\right) \Rightarrow \arg z= \frac{ \pi }{2}+ \frac{ \pi }{6}= \frac{2 \pi }{3}}\)

\(\displaystyle{ z _{k}= \sqrt[k]{2} \left(\cos \frac{2 \pi }{3} +2k \pi\right)}{2}+i\sin \frac{ \frac{2 \pi }{3} +2k \pi}{2}\right)}\)

\(\displaystyle{ z _{0}= \sqrt[0]{2}\left( \cos \frac{ \pi }{3} +i\sin \frac{ \pi }{3}\right)= \sqrt[0]{2}\left( \frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\) (czy da się to jeszcze jakoś przekształcić, czy zostawić w takiej postaci, o ile to wogule jest dobrze?)
\(\displaystyle{ z _{1} = 2\left(\cos \frac{4 \pi }{3}+i\sin \frac{4 \pi }{3} \right)=- 1 + \sqrt{3} i}\)



i jeszcze 1 przykład:
\(\displaystyle{ z=-1-i}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right\right|=0}\)
Czy dobrze to policzyłem?
Czy jeżeli \(\displaystyle{ \left| z\right\right|=0}\) to liczba ta nie ma pierwiastków?-- 24 paź 2011, o 21:06 --\(\displaystyle{ |z}\) oznacza moduł liczby zespolonej(nie mogę edytować posta żeby poprawić zapis)
Ostatnio zmieniony 24 paź 2011, o 20:58 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a; zapis nawiasów
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Liczby zespolone, szukanie pierwiastków 2-giego stopnia

Post autor: Dasio11 »

Kryk pisze:\(\displaystyle{ \arg z= \frac{ \pi }{2}+ \frac{ \pi }{6}= \frac{2 \pi }{3}}\)
Skąd to?
Kryk pisze:\(\displaystyle{ z _{k}= \sqrt[k]{2} \left(\cos \frac{2 \pi }{3} +2k \pi\right)}{2}+i\sin \frac{ \frac{2 \pi }{3} +2k \pi}{2}\right)}\)
Nie. Poprawna postać tego wzoru to:

\(\displaystyle{ z_k = \sqrt[2]{2} \left( \cos \frac{\alpha + 2k \pi}{2} + \mathrm i \sin \frac{\alpha+2k \pi}{2} \right)}\)
Kryk pisze:\(\displaystyle{ z=-1-i}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right\right|=0}\)
Czy dobrze to policzyłem?
Nie, \(\displaystyle{ \left| -1 - \mathrm i \right| \neq 0.}\)
Kryk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 19 lut 2009, o 17:18
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 15 razy

Liczby zespolone, szukanie pierwiastków 2-giego stopnia

Post autor: Kryk »

Źle wzory stosowałem już poprawiłem, dzięki za pomoc
ODPOWIEDZ