Rozwiązanie równania w zbiorze liczb zespolonych

[fiolunia3]

Mam przykład:
\(\displaystyle{ \left(z+\overline z\right)+i\left(z-\overline z\right)=2i-6}\)
Gdzie z' jest sprzężeniem liczby zespolonej z (nie wiedziałam jak to inaczej oznaczyć).
Po podstawieniu \(\displaystyle{ z=x+yi}\) i przekształceniach dochodzę do momentu
\(\displaystyle{ (x-y+3)+(-1)i=0}\) i tutaj mam problem. Bo powinnam przyrównać część rzeczywistą i urojoną do 0, ale \(\displaystyle{ -1 \neq 0}\) i tutaj wychodzi sprzeczność. Może robie gdzieś błąd albo złym sposobem rozwiązuje to równanie?
Proszę o pomoc.

[Chromosom]

Po podstawieniu \(\displaystyle{ z=x+yi}\) i przekształceniach dochodzę do momentu
\(\displaystyle{ (x-y+3)+(-1)i=0}\) i tutaj mam problem.

powyższe równanie nie jest równoważne pierwszemu; przedstaw dokładniejsze obliczenia

[fiolunia3]

\(\displaystyle{ \left(z+\overline z\right)+i\left(z-\overline z\right)=2i-6}\)
\(\displaystyle{ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ (x+yi+x-yi)+i(x+yi-x+yi)=2i-6}\)
\(\displaystyle{ 2x+2y^{2}=2i-6}\)
\(\displaystyle{ 2x-2y-2i+6=0}\)
\(\displaystyle{ (x-y+3)+(-1)i=0}\)

[Chromosom]

\(\displaystyle{ 2x+2y^{2}=2i-6}\)

\(\displaystyle{ y^2}\) z pewnością nie powinno się tutaj pojawić. Końcowa postać równania jest jednak poprawna. Równanie nie jest sprzeczne. Odejmij stronami \(\displaystyle{ -3+\text i}\) i rozwiąż układ równań.