pytanie odnośnie potęgowania liczb zespolonych

[desert]

\(\displaystyle{ \left( 1-i \sqrt{3} \right) ^5 \ = \ 2^{5} \left( \cos \frac{5}{6} \pi \ + \ i \sin \frac{5}{6} \pi \right) ^5}\) jak to rozwiazać?

[scyth]

Wzór de Moivre'a:
https://www.matematyka.pl/2524.htm

[desert]

\(\displaystyle{ \left( 1-i \sqrt{3} \right) ^5 \ = \ 2^{5} \left( \cos \frac{5}{6} \pi \ + \ i \sin \frac{5}{6} \pi \right) ^5 \ = \ 2^{5} \left( \cos 5*\frac{5}{6} \pi \ + \ i \sin 5*\frac{5}{6} \pi \right) ^5 \ = \ 2^{5} \left( \cos \frac{\pi}{6} \ + \ i \sin \frac{\pi}{6} \right) ^5 \ = \ 16 \sqrt{3} +16i}\)
czy gdzieś popełniłem błąd? w odpowiedziach jest że powinno wyjść
\(\displaystyle{ 16 \ + \16 \sqrt{3}i}\)

[scyth]

Masz dobrze.

[desert]

jendak nie jest dobrze wiem gdzie mam błąd cos ujemny i sin dodatni jest dla ćwiartki czwartej czyli tam zamiast \(\displaystyle{ \frac{5}{6} \pi \}\) powinno być \(\displaystyle{ \frac {5}{3}\pi}\) czy dobrze mówie?

[scyth]

Dlaczego czwartej? Jest dobrze, bo masz:
\(\displaystyle{ \cos \frac{25}{6} \pi = \cos \left( 2\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \cos \frac{\pi}{6}}\)

[desert]

ale \(\displaystyle{ cos \alfa \ = \frac{1}{2}}\) a \(\displaystyle{ sin \alfa \ = \ - \frac{\sqrt{3}}{2}}\) więc wydaje mi się że przez to powinienem odczytywać z czwartej ćwiartki

chodzi mi o wcześniejszy fragment rozwiązywania. gdy odczytywałem pierwotny kąt alfa nie mnożąc jeszcze przez wykładnik

[scyth]

No to \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{6}}\).