pierwiastek z ujemnej liczby

[FantaZy]

Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić jak rozwiązuje się takie przykłady:

a) \(\displaystyle{ \sqrt{-4}}\)
b) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8}}\)

[Dasio11]

Znalezienie pierwiastka z liczby \(\displaystyle{ -4}\) polega na rozwiązaniu równania

\(\displaystyle{ z^2=-4}\)

w liczbach zespolonych. Najprostszym sposobem rozwiązywania takowego jest zapisanie \(\displaystyle{ z=x+y \mathrm i,}\) przez co równanie przybiera postać

\(\displaystyle{ (x+y \mathrm i)^2=-4}\)

Potrafisz je rozwiązać?


W drugim przypadku będzie podobnie. Należy rozwiązać

\(\displaystyle{ (x+y \mathrm i)^3=-8}\)

ze względu na niewiadome \(\displaystyle{ x, y \in \mathbb R.}\)

[FantaZy]

zostanę narazie przy przykładzie a) bo chyba nie umiem tego rozwiązać. wychodzą mi dwie wersje:

1)
\(\displaystyle{ (a+bi)^{2} = -4
a^{2}+2abi-b ^{2}=-4}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a ^{2} -b ^{2}=-4 \\ 2abi=0\end{cases}}\)

2)
\(\displaystyle{ a ^{2} +b ^{2} ( \cos 2 \alpha +i \sin 2 \alpha )=-4}\)


chyba nie tędy droga?

[Dasio11]

1. W porządku, wystarczy rozwiązać układ równań. Wychodzą dwa rozwiązania.

2. Skąd to?

[FantaZy]

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2}=b^{2}-2^{2} \\2abi=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-(b-2)(b+2) \\ -2(b-2)(b+2)bi=0 \end{cases} lub \begin{cases} a=(b-2)(b+2) \\ 2(b-2)(b+2)bi=0 \end{cases}}\)

po obliczeniu wyszło mi, że z jednego jak i z drugiego układu dostanę te same wyniki.
podaje obliczenia z układu 'po prawej stronie':

\(\displaystyle{ 2(b^{2}-4)bi=0\\
(2b^{2}-8)bi=0\\
2b^{3}i-8bi=0\\
2b^{3}i=8bi\\
2b^{2}=8\\
b^{2}=4\\
\begin{cases} b=2 \\ a=0 \end{cases} lub \begin{cases} b=-2 \\ a=0 \end{cases}}\)

[fon_nojman]

a) \(\displaystyle{ \sqrt{-4}=2i\sqrt{1}}\)

b) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8}=-2\sqrt[3]{1}.}\)

[FantaZy]

nie chcę odpowiedzi, chcę aby ktoś pomógł mi to załapać i sprawdzić czy dobrze robię czy źle.

[fon_nojman]

To nie jest odpowiedź. Po prostu zamiast się naliczyć można poszukać pierwiastków z jedynki.

[FantaZy]

w moim zadaniu chodzi chyba o to, żeby zamienić \(\displaystyle{ \sqrt{-4}}\) na postać trygonometryczną.