Korzystajac z de Moivre'a, wyraz funkcje

[Spectreval]

Mam, korzystajac ze wzoru de Moivre'a, wyrazic dana funkcje za pomoca funkcji sinus lub cosinus.

\(\displaystyle{ \sin 4 \alpha}\)

Wiem, ze trzeba skorzystac z tego, ze

\(\displaystyle{ \cos n \alpha + i \sin n \alpha = (\cos \alpha + i\sin \alpha ) ^{n}}\)

a potem porownac czesc urojona/rzeczywista.

Rozwiazanie ma wygladac tak:

\(\displaystyle{ \sin 4 \alpha = 4\cos \alpha \sin \alpha (\cos ^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha )}\)

Ale mi sie jeszcze w tym nawiasie paleta \(\displaystyle{ -\cos \alpha \sin \alpha}\).

Co robie zle?

[Qń]

Pokaż swoje rachunki, bo na razie ciężko stwierdzić co możesz robić źle.

Q.

[Spectreval]

Rozpisuje tak:

\(\displaystyle{ cos4 \alpha + isin4 \alpha = (cos \alpha + isin \alpha ) ^{4}

cos4 \alpha + isin4 \alpha = cos ^{4} \alpha + 4cos ^{3} isin \alpha - 4cos ^{2} \alpha sin ^{2} \alpha - 4cos \alpha isin ^{3} + 4sin ^{4} \alpha}\)

Porownuje czesc urojona:

\(\displaystyle{ sin4 \alpha = 4cos ^{3} \alpha sin \alpha - 4cos ^{2} \alpha sin ^{2} \alpha - 4cos \alpha sin ^{3} \alpha}\)

Po wyciagnieciu \(\displaystyle{ 4cos \alpha sin \alpha}\) przed nawias zostaje mi:

\(\displaystyle{ 4cos \alpha sin \alpha (cos ^{2} \alpha - cos \alpha sin \alpha - sin ^{2} \alpha)}\)

[Psiaczek]

Porownuje czesc urojona:

\(\displaystyle{ sin4 \alpha = 4cos ^{3} \alpha sin \alpha - 4cos ^{2} \alpha sin ^{2} \alpha - 4cos \alpha sin ^{3} \alpha}\)

Krótko i na temat: co tu robi ten środkowy wyraz? Przecież on w części rzeczywistej ma siedzieć.

[Spectreval]

Faktycznie, przeciez \(\displaystyle{ i}\) tam tez sobie znika.

Dzieki