Wartości funkcji trygonometrycznych
Wartości funkcji trygonometrycznych
Mam obliczyć \(\displaystyle{ \sin i , \cos 5i, \sin ( -2i), \cos 100i}\). Jest jakaś zasada na wyznaczanie tego ?
Ostatnio zmieniony 23 paź 2011, o 12:05 przez luka52, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Temat umieszczony w złym dziale.
-
szw1710
Wartości funkcji trygonometrycznych
Dla zmiennej zespolonej \(\displaystyle{ z}\) dowodzi się, że szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}}\)
jest zbieżny na całej płaszczyźnie zespolonej i określa się \(\displaystyle{ \sin z}\) jako sumę tego szeregu. Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ z\in\mathbb{R}}\), to mamy "zwykłego" sinusa rozwiniętego w szereg Maclaurina.
Wobec tego
\(\displaystyle{ \sin i=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^ni^{2n+1}}{(2n+1)!}}\)
Ale \(\displaystyle{ i^{2n+1}=(i^2)^n\cdot i=(-1)^ni}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ \sin i=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(-1)^ni}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i}{(2n+1)!}=i\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)!}=i\,\text{sinh}\,1}\)
jako, że sinus hiperboliczny ma rozwinięcie w szereg Maclaurina w postaci
\(\displaystyle{ \text{sinh}\,x=\frac{\text{e}^x-\text{e}^{-x}}{2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.}\)
Z cosinusem zupełnie podobnie.
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}}\)
jest zbieżny na całej płaszczyźnie zespolonej i określa się \(\displaystyle{ \sin z}\) jako sumę tego szeregu. Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ z\in\mathbb{R}}\), to mamy "zwykłego" sinusa rozwiniętego w szereg Maclaurina.
Wobec tego
\(\displaystyle{ \sin i=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^ni^{2n+1}}{(2n+1)!}}\)
Ale \(\displaystyle{ i^{2n+1}=(i^2)^n\cdot i=(-1)^ni}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ \sin i=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(-1)^ni}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i}{(2n+1)!}=i\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)!}=i\,\text{sinh}\,1}\)
jako, że sinus hiperboliczny ma rozwinięcie w szereg Maclaurina w postaci
\(\displaystyle{ \text{sinh}\,x=\frac{\text{e}^x-\text{e}^{-x}}{2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.}\)
Z cosinusem zupełnie podobnie.