Równanie wykładnicze

[paTTr]

\(\displaystyle{ z^{3} = -27}\)
mogę to zapisać jako? :
\(\displaystyle{ (x+iy)^{3} = -3^{3}}\)

Spierwiastkować stronami
i wyjdzie \(\displaystyle{ x+iy = -3}\) więc ta liczba to po prostu \(\displaystyle{ -3 + i}\)

Moje rozumowanie jest poprawne>

[Dasio11]

Nie jest, bo nie zachodzi implikacja

\(\displaystyle{ u^3=w^3 \stackrel{\text{źle}}{\Rightarrow} u=w.}\)


\(\displaystyle{ z=-3}\) jest jednym z trzech rozwiązań. Domyślasz się, jak wyznaczyć pozostałe?

[paTTr]

nie :/ w ogóle cos głupieje. Siedze nad krysickim i nie ogarniam.

np.
\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\) więc \(\displaystyle{ |z| = 5}\) więc \(\displaystyle{ \cos\alpha = \frac{-3}{5}}\) a \(\displaystyle{ \sin\alpha = \frac{-4}{5}}\)

Postać trygonometryczna to \(\displaystyle{ z=5(\cos 0.99 + i\sin 2.49)}\)
Lecąc dalej z pierwiastkiem mam:
\(\displaystyle{ Z_0 = \sqrt{5} \left( \cos \frac{ \pi }{2} + i\sin \frac{\pi}{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ Z_1 = \sqrt{5} \left( \cos \frac{ 3 \cdot \pi }{2} + i\sin \frac{\3\cdot \pi}{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ Z_0 = 0 + \sqrt{5}i}\)
\(\displaystyle{ z_1 = 0 - \sqrt{5}i}\)

a odp. jest inna :/

[Dasio11]

Lecąc dalej z pierwiastkiem mam:
\(\displaystyle{ Z0 = \sqrt{5} (cos \frac{ \pi }{2} + isin \frac{\pi}{2})}\)
\(\displaystyle{ Z1 = \sqrt{5} (cos \frac{ 3 \cdot \pi }{2} + isin \frac{\3\cdot pi}{2}}\)

Skąd to wziąłeś?

W przypadku \(\displaystyle{ \sqrt{-3-4 \mathrm i}}\) nie warto się bawić postacią trygonometryczną, bo argument liczby \(\displaystyle{ -3-4 \mathrm i}\) jest brzydki. Da się skorzystać z postaci trygonometrycznej bez dokładnego wyznaczania tego kąta, ale zdecydowanie łatwiej rozwiązać równanie

\(\displaystyle{ (a+b \mathrm i)^2 = -3 -4 \mathrm i}\)

które sprowadza się do układu równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2 = -3 \\ 2ab = -4 \end{cases}}\)

[paTTr]

\(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) no jest to \(\displaystyle{ |z|}\)czy jak kto woli r. Wrzucone pod pierwiastek zgodnie ze wzorem. A to w nawiasie dla podstawionych k=0 i k=1

Jakiś ciemny jestem :/

Pierwszą część wzorem skróconego podnoszę. I dlaczego akurat pod \(\displaystyle{ a ^{2} - b ^{2}}\) podstawiam -3 a pod 2ab podstwiam część urojoną -4?

Już pomijam fakt, że zgłupiałem przy tym początkowym -27 :/ Mam otwartego krysickiego, notatki z ćwiczeń i szukam podobnych przykładów w necie. I jak są liczby albo z -1/1/i/-i albo takie, że wszystko wychodzi. Jak są inne typu 3/4/5/13 to coś mi nie idzie :/

[Dasio11]

Wyznaczenie \(\displaystyle{ \sqrt{-3-4 \mathrm i}}\) z definicji oznacza rozwiązanie równania

\(\displaystyle{ z^2=-3-4 \mathrm i.}\)

Jeśli położymy \(\displaystyle{ z=a+b \mathrm i,}\) dostaniemy

\(\displaystyle{ \left(a+ b \mathrm i \right)^2 = -3 -4 \mathrm i}\)

czyli

\(\displaystyle{ a^2+2ab \mathrm i +b^2 \mathrm i^2 = -3 -4 i \\
a^2-b^2 + \mathrm i \cdot 2ab = -3 - \mathrm i \cdot 4.}\)

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe, a więc powyższe równanie równoważnie zapisujemy jako

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2 = -3 \\ 2ab = -4 \end{cases}}\)

Pozostaje wyznaczyć wszystkie możliwe rozwiązania \(\displaystyle{ (a,b)}\) tego układu równań. Każde takie rozwiązanie będzie odpowiadało rozwiązaniu \(\displaystyle{ z=a+ b \mathrm i}\) równania

\(\displaystyle{ z^2=-3-4 \mathrm i.}\)

Rozumiesz?

[paTTr]

Skoro mamy \(\displaystyle{ (a+bi)^2=-3-4i}\) to czemu drugie równanie jest z minusem ? Po to aby otrzymać własnie 2 pierwiastki? Co w takim razie należało by zrobić dla tego samego przykładu ale do potęgi 3?

chodzi mi o ten zapis:
\(\displaystyle{ a^2+2ab \mathrm i +b^2 \mathrm i^2 = -3 -4 i \\
a^2-b^2 + \mathrm i \cdot 2ab = -3 - \mathrm i \cdot 4.}\)


Reszta raczej jasna.

[Dasio11]

Po prostu \(\displaystyle{ \mathrm i^2 = -1,}\) więc \(\displaystyle{ a^2+2ab \mathrm i + b^2 \mathrm i^2 = a^2-b^2 + 2ab \mathrm i.}\)

Gdyby należało policzyć \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-3-4 \mathrm i},}\) sytuacja by się trochę skomplikowała. Należałoby rozwiązać równanie

\(\displaystyle{ \left(a+b \mathrm i \right)^3 = -3-4 \mathrm i,}\)

a to chyba będzie trochę trudniejsze.