\(\displaystyle{ z^{3} = -27}\)
mogę to zapisać jako? :
\(\displaystyle{ (x+iy)^{3} = -3^{3}}\)
Spierwiastkować stronami
i wyjdzie \(\displaystyle{ x+iy = -3}\) więc ta liczba to po prostu \(\displaystyle{ -3 + i}\)
Moje rozumowanie jest poprawne>
Równanie wykładnicze
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Równanie wykładnicze
Nie jest, bo nie zachodzi implikacja
\(\displaystyle{ u^3=w^3 \stackrel{\text{źle}}{\Rightarrow} u=w.}\)
\(\displaystyle{ z=-3}\) jest jednym z trzech rozwiązań. Domyślasz się, jak wyznaczyć pozostałe?
\(\displaystyle{ u^3=w^3 \stackrel{\text{źle}}{\Rightarrow} u=w.}\)
\(\displaystyle{ z=-3}\) jest jednym z trzech rozwiązań. Domyślasz się, jak wyznaczyć pozostałe?
Równanie wykładnicze
nie :/ w ogóle cos głupieje. Siedze nad krysickim i nie ogarniam.
np.
\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\) więc \(\displaystyle{ |z| = 5}\) więc \(\displaystyle{ \cos\alpha = \frac{-3}{5}}\) a \(\displaystyle{ \sin\alpha = \frac{-4}{5}}\)
Postać trygonometryczna to \(\displaystyle{ z=5(\cos 0.99 + i\sin 2.49)}\)
Lecąc dalej z pierwiastkiem mam:
\(\displaystyle{ Z_0 = \sqrt{5} \left( \cos \frac{ \pi }{2} + i\sin \frac{\pi}{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ Z_1 = \sqrt{5} \left( \cos \frac{ 3 \cdot \pi }{2} + i\sin \frac{\3\cdot \pi}{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ Z_0 = 0 + \sqrt{5}i}\)
\(\displaystyle{ z_1 = 0 - \sqrt{5}i}\)
a odp. jest inna :/
np.
\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\) więc \(\displaystyle{ |z| = 5}\) więc \(\displaystyle{ \cos\alpha = \frac{-3}{5}}\) a \(\displaystyle{ \sin\alpha = \frac{-4}{5}}\)
Postać trygonometryczna to \(\displaystyle{ z=5(\cos 0.99 + i\sin 2.49)}\)
Lecąc dalej z pierwiastkiem mam:
\(\displaystyle{ Z_0 = \sqrt{5} \left( \cos \frac{ \pi }{2} + i\sin \frac{\pi}{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ Z_1 = \sqrt{5} \left( \cos \frac{ 3 \cdot \pi }{2} + i\sin \frac{\3\cdot \pi}{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ Z_0 = 0 + \sqrt{5}i}\)
\(\displaystyle{ z_1 = 0 - \sqrt{5}i}\)
a odp. jest inna :/
Ostatnio zmieniony 22 paź 2011, o 19:10 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Poprawa zapisu f-cji trygonometrycznych, dodanie skalowanie nawiasów.
Powód: Poprawa wiadomości. Poprawa zapisu f-cji trygonometrycznych, dodanie skalowanie nawiasów.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Równanie wykładnicze
paTTr pisze: Lecąc dalej z pierwiastkiem mam:
\(\displaystyle{ Z0 = \sqrt{5} (cos \frac{ \pi }{2} + isin \frac{\pi}{2})}\)
\(\displaystyle{ Z1 = \sqrt{5} (cos \frac{ 3 \cdot \pi }{2} + isin \frac{\3\cdot pi}{2}}\)
Skąd to wziąłeś?
W przypadku \(\displaystyle{ \sqrt{-3-4 \mathrm i}}\) nie warto się bawić postacią trygonometryczną, bo argument liczby \(\displaystyle{ -3-4 \mathrm i}\) jest brzydki. Da się skorzystać z postaci trygonometrycznej bez dokładnego wyznaczania tego kąta, ale zdecydowanie łatwiej rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ (a+b \mathrm i)^2 = -3 -4 \mathrm i}\)
które sprowadza się do układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2 = -3 \\ 2ab = -4 \end{cases}}\)
Równanie wykładnicze
\(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) no jest to \(\displaystyle{ |z|}\)czy jak kto woli r. Wrzucone pod pierwiastek zgodnie ze wzorem. A to w nawiasie dla podstawionych k=0 i k=1
Jakiś ciemny jestem :/
Pierwszą część wzorem skróconego podnoszę. I dlaczego akurat pod \(\displaystyle{ a ^{2} - b ^{2}}\) podstawiam -3 a pod 2ab podstwiam część urojoną -4?
Już pomijam fakt, że zgłupiałem przy tym początkowym -27 :/ Mam otwartego krysickiego, notatki z ćwiczeń i szukam podobnych przykładów w necie. I jak są liczby albo z -1/1/i/-i albo takie, że wszystko wychodzi. Jak są inne typu 3/4/5/13 to coś mi nie idzie :/
Jakiś ciemny jestem :/
Pierwszą część wzorem skróconego podnoszę. I dlaczego akurat pod \(\displaystyle{ a ^{2} - b ^{2}}\) podstawiam -3 a pod 2ab podstwiam część urojoną -4?
Już pomijam fakt, że zgłupiałem przy tym początkowym -27 :/ Mam otwartego krysickiego, notatki z ćwiczeń i szukam podobnych przykładów w necie. I jak są liczby albo z -1/1/i/-i albo takie, że wszystko wychodzi. Jak są inne typu 3/4/5/13 to coś mi nie idzie :/
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Równanie wykładnicze
Wyznaczenie \(\displaystyle{ \sqrt{-3-4 \mathrm i}}\) z definicji oznacza rozwiązanie równania
\(\displaystyle{ z^2=-3-4 \mathrm i.}\)
Jeśli położymy \(\displaystyle{ z=a+b \mathrm i,}\) dostaniemy
\(\displaystyle{ \left(a+ b \mathrm i \right)^2 = -3 -4 \mathrm i}\)
czyli
\(\displaystyle{ a^2+2ab \mathrm i +b^2 \mathrm i^2 = -3 -4 i \\
a^2-b^2 + \mathrm i \cdot 2ab = -3 - \mathrm i \cdot 4.}\)
Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe, a więc powyższe równanie równoważnie zapisujemy jako
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2 = -3 \\ 2ab = -4 \end{cases}}\)
Pozostaje wyznaczyć wszystkie możliwe rozwiązania \(\displaystyle{ (a,b)}\) tego układu równań. Każde takie rozwiązanie będzie odpowiadało rozwiązaniu \(\displaystyle{ z=a+ b \mathrm i}\) równania
\(\displaystyle{ z^2=-3-4 \mathrm i.}\)
Rozumiesz?
\(\displaystyle{ z^2=-3-4 \mathrm i.}\)
Jeśli położymy \(\displaystyle{ z=a+b \mathrm i,}\) dostaniemy
\(\displaystyle{ \left(a+ b \mathrm i \right)^2 = -3 -4 \mathrm i}\)
czyli
\(\displaystyle{ a^2+2ab \mathrm i +b^2 \mathrm i^2 = -3 -4 i \\
a^2-b^2 + \mathrm i \cdot 2ab = -3 - \mathrm i \cdot 4.}\)
Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe, a więc powyższe równanie równoważnie zapisujemy jako
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2 = -3 \\ 2ab = -4 \end{cases}}\)
Pozostaje wyznaczyć wszystkie możliwe rozwiązania \(\displaystyle{ (a,b)}\) tego układu równań. Każde takie rozwiązanie będzie odpowiadało rozwiązaniu \(\displaystyle{ z=a+ b \mathrm i}\) równania
\(\displaystyle{ z^2=-3-4 \mathrm i.}\)
Rozumiesz?
Równanie wykładnicze
Skoro mamy \(\displaystyle{ (a+bi)^2=-3-4i}\) to czemu drugie równanie jest z minusem ? Po to aby otrzymać własnie 2 pierwiastki? Co w takim razie należało by zrobić dla tego samego przykładu ale do potęgi 3?
chodzi mi o ten zapis:
\(\displaystyle{ a^2+2ab \mathrm i +b^2 \mathrm i^2 = -3 -4 i \\
a^2-b^2 + \mathrm i \cdot 2ab = -3 - \mathrm i \cdot 4.}\)
Reszta raczej jasna.
chodzi mi o ten zapis:
\(\displaystyle{ a^2+2ab \mathrm i +b^2 \mathrm i^2 = -3 -4 i \\
a^2-b^2 + \mathrm i \cdot 2ab = -3 - \mathrm i \cdot 4.}\)
Reszta raczej jasna.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Równanie wykładnicze
Po prostu \(\displaystyle{ \mathrm i^2 = -1,}\) więc \(\displaystyle{ a^2+2ab \mathrm i + b^2 \mathrm i^2 = a^2-b^2 + 2ab \mathrm i.}\)
Gdyby należało policzyć \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-3-4 \mathrm i},}\) sytuacja by się trochę skomplikowała. Należałoby rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ \left(a+b \mathrm i \right)^3 = -3-4 \mathrm i,}\)
a to chyba będzie trochę trudniejsze.
Gdyby należało policzyć \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-3-4 \mathrm i},}\) sytuacja by się trochę skomplikowała. Należałoby rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ \left(a+b \mathrm i \right)^3 = -3-4 \mathrm i,}\)
a to chyba będzie trochę trudniejsze.