pierwiastki z liczby zespolonej

sorcerer123 · Post autor: **sorcerer123** » 22 paź 2011, o 13:33

nie bardzo wiem jak mam znaleźć pierwiastki z takiej liczby:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(1+i) ^{6} }}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 22 paź 2011, o 13:44

Tak samo jak z każdej innej. Postać trygonometryczna najpierw

aalmond · Post autor: **aalmond** » 22 paź 2011, o 13:45

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(1+i) ^{6} }= \left [ (1+i) ^{6} \right ] ^{ \frac{1}{3} } = (1+i) ^{2}}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 22 paź 2011, o 13:46

aalmond pisze:\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(1+i) ^{6} }= \left [ (1+i) ^{6} \right ] ^{ \frac{1}{3} } = (1+i) ^{2}}\)

Jesteś w liczbach zespolonych, więc powinieneś mieć 3 wyniki dla tego pierwiastka, a nie jeden

sorcerer123 · Post autor: **sorcerer123** » 22 paź 2011, o 13:46

tak myślałem, zatem

\(\displaystyle{ \sqrt[3] { \left( 1+i \right) ^{6} }= \sqrt{2} \left( \cos \frac{3}{2} \pi +i \sin \frac{3}{2} \pi \right)}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 22 paź 2011, o 13:49

Oczywiście, że nie. Najpierw przedstaw liczbę pod pierwiastkiem w postaci tryg

aalmond · Post autor: **aalmond** » 22 paź 2011, o 13:57

Jesteś w liczbach zespolonych, więc powinieneś mieć 3 wyniki dla tego pierwiastka, a nie jeden

Sorry. Chwilowa niedyspozycja

sorcerer123 · Post autor: **sorcerer123** » 22 paź 2011, o 14:21

\(\displaystyle{ \left( 1+i \right) ^6= \sqrt{2}^6 \left( \cos 6 \cdot \frac{ \pi }{4} +i \sin 6 \cdot \frac{ \pi }{4} \right) = 8 \left( \cos \frac{3}{2} \pi +i \sin \frac{3}{2} \pi \right)}\)

tak jest dobrze??

aalmond · Post autor: **aalmond** » 22 paź 2011, o 14:23

teraz dobrze

sorcerer123 · Post autor: **sorcerer123** » 22 paź 2011, o 14:33

i mam liczbę zespoloną

\(\displaystyle{ z=8 \left( \cos \frac{3}{2} \pi +i \sin \frac{3}{2} \pi \right)}\)

i trzy pierwiastki z tej liczby
\(\displaystyle{ z _{0}= \sqrt[3] {8} \left( \cos \frac{3 \pi }{2 \cdot 3}+i\sin \frac{3 \pi }{2 \cdot 3} \right) =2i \\
z _{1}= 2 \left( \cos \frac{ \frac{3}{2} \pi +2 \pi }{3} +i\sin \frac{ \frac{3}{2} \pi +2 \pi }{3} \right) =2 \left( - \frac{ \sqrt{3} }{2}- \frac{1}{2}i \right) \\
z _{2}=2 \left( \cos \frac{ \frac{3}{2} \pi +4 \pi }{3} +i\sin \frac{ \frac{3}{2} \pi +4 \pi }{3} \right) =2 \left( \frac{ \sqrt{3} }{2}- \frac{1}{2}i \right)}\)

aalmond · Post autor: **aalmond** » 22 paź 2011, o 14:46

Jest dobrze. Możesz jeszcze pozbyć się nawiasów.

sorcerer123 · Post autor: **sorcerer123** » 22 paź 2011, o 15:20

a ten przykład jest prosty:

\(\displaystyle{ z^6=(2+4i)^6}\)

\(\displaystyle{ z=2+4i}\)

czy jest coś w nim podchwytliwego?

aalmond · Post autor: **aalmond** » 22 paź 2011, o 15:28

Liczysz, jak wyżej.

\(\displaystyle{ z= \sqrt[6]{(2+4i)^6}}\)

sorcerer123 · Post autor: **sorcerer123** » 22 paź 2011, o 15:30

ok -- 22 października 2011, 15:41 --tylko, że mam problem, żeby zamienić tę liczbę na postać trygonometryczną, ile będzie wynosiło \(\displaystyle{ \phi}\) ??

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 23 paź 2011, o 01:10

\(\displaystyle{ \sqrt[6]{\left( 2+4i\right)^6 }\\
z_{0}=\left( 2+4i\right)\\
z_{1}=e^{ \frac{2\pi}{6} \cdot i }\left( 2+4i\right)\\
z_{2}=e^{ \frac{4\pi}{6} \cdot i }\left( 2+4i\right)\\
z_{3}=e^{ \frac{6\pi}{6} \cdot i }\left( 2+4i\right)\\
z_{4}=e^{ \frac{8\pi}{6} \cdot i }\left( 2+4i\right)\\
z_{5}=e^{ \frac{10\pi}{6} \cdot i }\left( 2+4i\right)\\}\)

aalmond pisze:\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(1+i) ^{6} }= \left [ (1+i) ^{6} \right ] ^{ \frac{1}{3} } = (1+i) ^{2}}\)

Sam pomysł jest dobry tylko trzeba pamiętać o tym co napisał miodzio i
resztę pierwiastków policzyć przy pomocy pierwiastków z jedynki