Obliczenie potęgi w liczbach zespolonych

[zidu]

Witam,

Jak obliczyć następujące zadanie?

\(\displaystyle{ \left( 1- \sqrt{3} \right)^{1024}}\)

nie wiem czy to jest dobrze napisane na kartce z Egzaminu poprawkowego jeśli nie to przyjmijmy że 1 = i

[scyth]

Tam miało być to \(\displaystyle{ i}\) a nie \(\displaystyle{ 1}\)
A jak to zrobić? Zamieniasz liczbę na postać trygonometryczną i stosujesz wzór de Moivre'a.
https://www.matematyka.pl/page.php?p=kom ... -zespolone

[zidu]

Proszę o sugestie w sprawie mojego rozwiązania


zakładam że przykład wygląda następująco \(\displaystyle{ (1-i \sqrt{3})^{1024}}\)

Więc:

\(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{ 1^2+\sqrt{-3}^2}=\sqrt{4}=2}\)

\(\displaystyle{ cos \varphi= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ sin \varphi= \frac{-\sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \varphi= \frac{ \pi }{3}}\)

\(\displaystyle{ (1-i \sqrt{3})^{1024}=2^{1024} \cdot (cos \frac{1024 \cdot \pi }{3} +i \cdot sin \frac{1024 \cdot \pi }{3})}\)

i na tym się zatrzymałem i nie wiem co dalej , jeśli dobrze licze .

[scyth]

Dalej skorzystaj z cykliczności funkcji trygonometrycznych, czyli:
\(\displaystyle{ \cos \frac{1024 \cdot \pi }{3} = \cos \left( 170 \cdot 2 \pi + \frac{4\pi}{3} \right) = cos \frac{4 \pi }{3} = -\frac{1}{2}}\)