Znajdź wszystkie liczby zespolone spełniające równanie:
\(\displaystyle{ (z+1) ^{n} - (z-1) ^{n} =0}\)
rozwiąż równanie zespolone
rozwiąż równanie zespolone
Ostatnio zmieniony 20 paź 2011, o 15:28 przez scyth, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie używaj Caps Locka. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex]
Powód: Nie używaj Caps Locka. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
rozwiąż równanie zespolone
\(\displaystyle{ (z + 1) ^{n} - (z - 1) ^{n} = 0}\)
\(\displaystyle{ (z + 1) ^{n} = (z - 1) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ z _{0} + 1 = z _{0} - 1}\)
Niestety \(\displaystyle{ z _{0}}\) nie istnieje, a myślałem, że uda się wyznaczyć jedno z n rozwiazań, a potem rozwiązania k-te
\(\displaystyle{ z _{k} = z _{0} \cdot e ^{i \cdot \frac{2k \pi }{n} }}\)
gdzie
\(\displaystyle{ k \in \left\{ 1, \ 2, \ 3, \ ..., \ n- 1\right\}}\)
\(\displaystyle{ (z + 1) ^{n} = (z - 1) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ z _{0} + 1 = z _{0} - 1}\)
Niestety \(\displaystyle{ z _{0}}\) nie istnieje, a myślałem, że uda się wyznaczyć jedno z n rozwiazań, a potem rozwiązania k-te
\(\displaystyle{ z _{k} = z _{0} \cdot e ^{i \cdot \frac{2k \pi }{n} }}\)
gdzie
\(\displaystyle{ k \in \left\{ 1, \ 2, \ 3, \ ..., \ n- 1\right\}}\)
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
rozwiąż równanie zespolone
Źle.
\(\displaystyle{ z=1}\) nie jest rozwiązaniem, więc załóżmy, że \(\displaystyle{ z -1 \neq 0.}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{z+1}{z-1} \right)^n=1}\)
czyli \(\displaystyle{ 1+\frac{2}{z-1} = \frac{z+1}{z-1}}\) jest jednym z \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków z jedynki.
Równanie
\(\displaystyle{ 1+\frac{2}{z-1} = 1}\)
nie ma rozwiązań. Gdy \(\displaystyle{ k=1,2,3, \ldots, n-1,}\) to dla
\(\displaystyle{ \omega_k = \left( \cos \frac{2 k \pi}{n} + \mathrm i \sin \frac{2k \pi}{n} \right)}\)
z każdego z równań
\(\displaystyle{ 1+\frac{2}{z-1} = \omega_k}\)
dostaniemy rozwiązanie postaci
\(\displaystyle{ z_k = 1+\frac{2}{\omega_k -1}.}\)
\(\displaystyle{ z=1}\) nie jest rozwiązaniem, więc załóżmy, że \(\displaystyle{ z -1 \neq 0.}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{z+1}{z-1} \right)^n=1}\)
czyli \(\displaystyle{ 1+\frac{2}{z-1} = \frac{z+1}{z-1}}\) jest jednym z \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków z jedynki.
Równanie
\(\displaystyle{ 1+\frac{2}{z-1} = 1}\)
nie ma rozwiązań. Gdy \(\displaystyle{ k=1,2,3, \ldots, n-1,}\) to dla
\(\displaystyle{ \omega_k = \left( \cos \frac{2 k \pi}{n} + \mathrm i \sin \frac{2k \pi}{n} \right)}\)
z każdego z równań
\(\displaystyle{ 1+\frac{2}{z-1} = \omega_k}\)
dostaniemy rozwiązanie postaci
\(\displaystyle{ z_k = 1+\frac{2}{\omega_k -1}.}\)