równanie, liczby zespolone

[myturn]

\(\displaystyle{ |z|^2=z^3}\)
Rozwiązać równanie przy pomocy postaci trygonometrycznej liczby z.

Proszę o pomoc..

podstawiam i wychodzi mi

\(\displaystyle{ |z|^2=|z|^3( \cos 3 \phi+i \sin 3 \phi)}\)

nie wiem co dalej..

[Qń]

Porównaj części urojone obu stron.

Q.

[myturn]

Nie wiem co jest częścią urojoną lewej strony.. mogę jakąś podpowiedź?

[Qń]

Z lewej strony mamy liczbę rzeczywistą, więc jej część urojona to zero.

Q.

[myturn]

a po prawej \(\displaystyle{ \sin 3 \phi}\)? co mi to da?
jest sens zamieniać moduł z 'z' na 'r'?

[Qń]

Częścią urojoną prawej strony jest \(\displaystyle{ |z|^3\sin 3\phi}\). Wiemy zatem, że \(\displaystyle{ |z|=0}\) lub \(\displaystyle{ \sin 3\phi = 0}\). W pierwszym wypadku oczywiście \(\displaystyle{ z=0}\). Jeśli natomiast \(\displaystyle{ z\neq 0}\), to mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{|z|}=\cos 3\phi\\0=\sin 3\phi\end{cases}}\).
Gdyby udało się jakoś wywnioskować, że musi być \(\displaystyle{ |z|=1}\), to moglibyśmy stwierdzić ile może być równe \(\displaystyle{ \phi}\).

Q.

[myturn]

ehh nie umiem tym sposobem, robiłam za pomocą postaci wykładniczej, ale mi nie wolno..