Krysicki i Włodarski Potęgi

jozefkarton · Post autor: **jozefkarton** » 18 paź 2011, o 15:30

Zad. 8.21 Oblicz...
\(\displaystyle{ \frac{ \left( 1+i \right) ^n}{ \left( i-1 \right) ^{n-2}}}\)
Odpowiedź:
\(\displaystyle{ 2i^{n-1}}\)
Robię tak:
Zamieniam na postać trygonometryczną, stosuję wzór na potęgowanie i wychodzi mi:
\(\displaystyle{ 2 \left( \cos \left( \frac{-n+3}{2} \cdot \pi \right) + i \sin \left( \frac{-n+3}{2} \cdot \pi \right) \right)}\)

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 18 paź 2011, o 15:38

a gdybys wykorzystał \(\displaystyle{ (1+i)(1-i)=2}\)

tylko uważaj ze znakami, bo na dole jest \(\displaystyle{ (i-1)}\)

jozefkarton · Post autor: **jozefkarton** » 18 paź 2011, o 15:44

No właśnie myślałem o tym, ale te znaki skreślają ten pomysł. Jak miałbym to zastosować?

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 18 paź 2011, o 16:02

jozefkarton pisze:No właśnie myślałem o tym, ale te znaki skreślają ten pomysł.

Nie skreślają tylko lekko utrudniają .

jozefkarton · Post autor: **jozefkarton** » 18 paź 2011, o 17:00

Co masz na myśli? Doradź coś, nie potrafię zauważyć Twojego pomysłu. Gdyby był plus to n mógłbym skrócić a tak nie mogę. Co radzisz?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 18 paź 2011, o 18:08

jozefkarton pisze: \(\displaystyle{ 2 \left( \cos \left( \frac{-n+3}{2} \cdot \pi \right) + i \sin \left( \frac{-n+3}{2} \cdot \pi \right) \right)}\)

Moim zdaniem to jest dobrze, czyli poprawna odpowiedź do zadania to nie \(\displaystyle{ i^{n-1}}\), tylko \(\displaystyle{ i^{-n-1}}\).

jozefkarton · Post autor: **jozefkarton** » 18 paź 2011, o 18:56

norwimaj pisze:
jozefkarton pisze: \(\displaystyle{ 2 \left( \cos \left( \frac{-n+3}{2} \cdot \pi \right) + i \sin \left( \frac{-n+3}{2} \cdot \pi \right) \right)}\)
Moim zdaniem to jest dobrze, czyli poprawna odpowiedź do zadania to nie \(\displaystyle{ i^{n-1}}\), tylko \(\displaystyle{ i^{-n-1}}\).

Jak zamieniłeś \(\displaystyle{ \left( \cos \left( \frac{-n+3}{2} \cdot \pi \right) + i \sin \left( \frac{-n+3}{2} \cdot \pi \right) \right)}\) na \(\displaystyle{ i^{-n-1}}\) ?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 18 paź 2011, o 19:32

\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{-n+3}{2} \cdot \pi \right) + i \sin \left( \frac{-n+3}{2} \cdot \pi \right) =
\cos \left( \frac{-n-1}{2} \cdot \pi \right) + i \sin \left( \frac{-n-1}{2} \cdot \pi \right) \right)=
\left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin\frac{\pi}{2} \right)^{-n-1}}\)

Bordinio · Post autor: **Bordinio** » 22 paź 2011, o 19:09

Witam, czy ktoś mógłby podpowiedzieć jak w ogóle przejść w tym wypadku do postaci trygonometrycznej ? Jakoś nie mam pomysłu jak rozbić \(\displaystyle{ \frac{ \left( 1+i \right) ^n}{ \left( i-1 \right) ^{n-2}}}\) .