Oblicz... Krysicki i Włodarski

[jozefkarton]

Zad. 8.14 Oblicz:
\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\)
Jak się za to zabrać? Staram się zamienić na postać trygonometryczną, ale kąt jest niefajny. Odpowiedź jest: \(\displaystyle{ 1 - 2i}\) oraz \(\displaystyle{ -1+2i}\)
Proszę o pomoc.

[scyth]

\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=a+ib \\
-3-4i=(a+ib)^2 \\
-3-4i = a^2+2iab-b^2 \\
\Rightarrow \begin{cases} a^2-b^2 = -3 \\ 2ab=-4 \end{cases}}\)
I teraz podstawienie z drugiego do pierwszego, równanie dwukwadratowe itd.

[Psiaczek]

Możesz z definicji. Szukasz \(\displaystyle{ a,b \in R}\) takich że \(\displaystyle{ (a+bi)^2=-3-4i}\)

po rozwinięciu i przyrównaniu częsci rzeczywistych i urojonych będzie

\(\displaystyle{ a^2-b^2=-3, 2ab=-4}\)

widząc że z drugiego wynikają przeciwne znaki a,b oraz mając na uwadze \(\displaystyle{ 1^2-2^2=-3}\)
łatwo zgadnać dwa rozwiązania \(\displaystyle{ a=1,b=-2 \vee a=-1, b=2}\)

oczywiście można też nie zgadywać tylko normalnie rozwiązać układ.