Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

[jankes_tom]

Mam problem z takim zadaniem:
\(\displaystyle{ \left( 1-i\right) z^{2}-iz+1+i=0}\)

Z góry bardzo dziekuje

[scyth]

Normalne równanie kwadratowe - liczysz deltę itd.

[jankes_tom]

tak tez myślałem ale po moich obliczeniach delta mi wychodzi ujemna a dokładnie -7, czy jest to możliwe czy gdzieś sie pomyliłem?

[scyth]

Zatem pierwiastek z delty to \(\displaystyle{ 7i}\) - przecież znasz już liczby zespolone. Wstawić do wzoru i po zadaniu.

[jankes_tom]

Czy te obliczenia sa poprawne?

\(\displaystyle{ \left( 1-i\right) z^{2}-iz+1+i=0 \\
\Delta=-i^{2}-4\left( 1-i\right)\left( 1+i\right) \\
\Delta=-1-4\left( 1+i ^{2} \right) \\
\Delta=-3+4i ^{2} \\
\Delta=-7}\)

[Psiaczek]

Czy te obliczenia sa poprawne?

\(\displaystyle{ \left( 1-i\right) z^{2}-iz+1+i=0 \\
\Delta=-i^{2}-4\left( 1-i\right)\left( 1+i\right) \\
\Delta=-1-4\left( 1+i ^{2} \right) \\
\Delta=-3+4i ^{2} \\
\Delta=-7}\)
A dlaczego mówisz że jeżeli delta= -7 to pierwiiastek z delty jest 7i?

1)kolega miał na myśli oczywiście \(\displaystyle{ \sqrt{7}i}\) jako pierwiastek z delty

2) Błąd już w pierwszej linii - nie rozumiesz wzoru na deltę - twoje \(\displaystyle{ b=-i, b^2=(-i)^2=(-i) \cdot (-i)=i^2=-1}\)

[jankes_tom]

Dzięki waszej pomocy rozwiązałem zadanie tylko czy dobrze?
Jeśli miał by ktoś chwilkę czasu to proszę o sprawdzenie

\(\displaystyle{ \left( 1-i\right) z^{2}-iz+1+i=0 \\
\Delta=(-i)^{2}-4\left( 1-i\right)\left( 1+i\right) \\
\Delta=-1-4\left( 1-i ^{2} \right) \\
\Delta=-5+4i ^{2} \\
\Delta=-9\\
\\
i ^{2}=-1 \\
\\
\Delta=-9=9i ^{2} \\
\\
z _{1} = \frac{i+ \sqrt{9i ^{2} } }{2(1-i)}= \frac{i+3i}{2-2i}=\frac{4i(2+2i)}{(2-2i)(2+2i)}= \frac{8i-8}{8}= \frac{8(i-1)}{8}=-1+i \\
\\
z _{2} = \frac{i- \sqrt{9i ^{2} } }{2(1-i)}= \frac{i-3i}{2-2i}= \frac{-2i}{2-2i}= \frac{2i(2+2i)}{(2-2i)(2+2i)}= \frac{4(-i+1)}{8}= \frac{-i+1}{2}= \frac{1}{2}- \frac{1}{2}i \\
\\
z _{1} =-1+i \\
\\
z _{2} = \frac{1}{2}- \frac{1}{2}i}\)

[scyth]

Trzecia linijka - źle zastosowany wzór skróconego mnożenia.

[jankes_tom]

juz poprawiłem, jesli oczywiście to o to chodziło. Zle przepisałem z kartki a wyniku nie zmienia, mam nadzieje....

[scyth]

Wynik jest OK.

[jankes_tom]

Dziekuje bardzo i zamykam temat