Równanie i nierówność zespolona

[karolinaslabazmatmy]

CZEŚĆ!

1) \(\displaystyle{ 1+\left( 1+i\right) + \left( 1+i\right) ^{2}+...+\left( 1+i\right) ^{11}}\)
2) \(\displaystyle{ Z^{2}-4Z+13=0}\)
3) \(\displaystyle{ Z^{2}-\left( 2+i\right)*Z-\left( 1-7i\right) =0}\)
4) \(\displaystyle{ \frac{Z+1}{Z'-1} =-1}\)
5) \(\displaystyle{ Re \left( iZ'\right) >=1}\)
6) \(\displaystyle{ \left| Z-1 \right| = Re\left( Z +1 \right)}\)
7) \(\displaystyle{ Z*Z' + \left( 5+i \right) *Z + 5-1* Z'+1=0}\)
8) \(\displaystyle{ \left| Z - 3 +4i \right| < 5}\)


W zadaniu pierwszym wyliczyć sumę ciągu, w czwartym jest to równanie.


Bardzo proszę o szybką odpowiedz, z góry dziękuję!!!


_______________________________
Pragnę pokoju na Świecie!

[Psiaczek]

2) \(\displaystyle{ Z^{2}-4Z+13=0}\)

\(\displaystyle{ Z^2-4Z+4+9=0}\)

\(\displaystyle{ Z^2-4Z+4=-9}\)

\(\displaystyle{ (Z-2)^2=-9}\)

\(\displaystyle{ Z-2=3i \vee Z-2=-3i}\)

\(\displaystyle{ Z=2+3i \vee Z=2-3i}\)

Si vis pacem para bellum.

[joe74]

W zadaniach 1 i 4 jakby brakowalo prawej strony równania/nierówności.

zadanie 1

\(\displaystyle{ 1+\left( 1+i\right) + \left( 1+i\right) ^{2}+...+\left( 1+i\right) ^{11}
= \left( 1 + i\right) \cdot \frac{1 - \left( 1 + i\right) ^{11}}{1 - \left( 1 + i\right)}}\)


zadanie 2

\(\displaystyle{ z^{2} - 4z + 13 = 0}\)

sposób wykorzystujący wyrożnik równania kwadratowego:

\(\displaystyle{ \Delta = 16 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = - 36 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \sqrt{\Delta} = 6i \ \ \ lub \ \ \ - 6i}\)

\(\displaystyle{ z _{1} = \frac{4 - 6i}{2 \cdot 1} = 2 - 3i}\)

\(\displaystyle{ z _{2} = \frac{4 + 6i}{2 \cdot 1} = 2 + 3i = \overline {z _{1}}}\)


zadanie 3

\(\displaystyle{ \begin{cases} a \cdot z^{2} + b \cdot z + c = 0 \\ z^{2} - \left( 2 + i\right) \cdot z - \left( 1 - 7i\right) = 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a = 1, \ b = -\left( 2 + i\right), \ c = -\left( 1 - 7i\right) = - 1 + 7i}\)

\(\displaystyle{ \Delta = \left[ -\left( 2 + i\right)\right] ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(- 1 + 7i\right) = 7 - 24i \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \sqrt{\Delta} = - 4 + 3i \ \ \ lub \ \ \ 4 - 3i \ \ *}\)

\(\displaystyle{ * \ \ \sqrt{7 - 24i} = a + ib}\)

\(\displaystyle{ 7 - 24i = \left( a + ib \right) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ 7 - 24i = a ^{2} - b ^{2} + 2ab \cdot i \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases} a ^{2} - b ^{2} = 7 \\ 2ab = - 24 \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases} a _{1} + i \cdot b _{1} = - 4 + 3i \\ a _{2} + i \cdot b _{2} = 4 - 3i = - \left( a _{1} + i \cdot b _{1}\right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ z _{1} = \frac{2 + i - \left( 4 - 3i \right)}{2 \cdot 1} = - 1 + 2i}\)

\(\displaystyle{ z _{2} = \frac{2 + i + 4 - 3i}{2 \cdot 1} = 3 - 2i}\)


zadanie 4

\(\displaystyle{ \frac{z+1}{z-1} \ \ ???}\)


zadanie 5

\(\displaystyle{ Re \left( i \overline {z} \right) \ge 1}\)

Jeśli \(\displaystyle{ z = x + iy, \ x, y \in R}\), to:

\(\displaystyle{ Re\left[ i \cdot \left( x - iy\right) \right] \ge 1}\)

\(\displaystyle{ Re\left( y - ix\right) \ge 1}\)

\(\displaystyle{ y \ge 1}\)

Rozwiązaniem jest półpłaszczyzna na płaszczyźnie zespolonej ograniczona z dołu prostą y = 1.


zadanie 6

\(\displaystyle{ \left| z - 1 \right| = Re\left( z + 1 \right)}\)

Jeśli \(\displaystyle{ z = x + iy, \ x, y \in R}\), to:

\(\displaystyle{ \left| x + iy - 1 \right| = Re\left( x + iy +1 \right)}\)

\(\displaystyle{ \left| \left( x - 1\right) + iy \right| = Re \left[ \left( x + 1\right) + iy \right]}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\left( x - 1\right) ^{2} + y ^{2}} = x + 1}\)

\(\displaystyle{ \left( x - 1\right) ^{2} + y ^{2} = \left( x + 1\right) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{1}{4} \cdot y ^{2}}\)

\(\displaystyle{ z = \frac{1}{4} \cdot y ^{2} + iy, \ \ y \in R}\)


zadanie 7

\(\displaystyle{ z \cdot \overline {z} + \left( 5 + i \right) \cdot z + \left( 5 - 1i\right) \cdot \overline {z} + 1 = 0}\)

Za z podstawiamy \(\displaystyle{ x + iy}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y \in R}\), i wtedy:

\(\displaystyle{ \left( x + iy \right) \cdot \left( x - iy\right) + \left( 5 + i \right) \cdot \left( x + iy\right)+ \left( 5 - 1i\right) \cdot \left( x - iy\right) + 1 = 0}\)

Ostatnie równanie, przez przyrównanie do zera części rzeczywistej lewej strony równania, oraz części urojonej, prowadzi do układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} + y ^{2} + 10x - 2y + 1 = 0 \\ 10y = 0 \end{cases} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases} x _{1} = - 5 - 2 \sqrt{6} \ \ oraz \ \ x _{2} = - 5 + 2 \sqrt{6} \\ y = 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} z _{1} = - 5 - 2 \sqrt{6} \\ z _{2} = - 5 + 2 \sqrt{6} \end{cases}}\)


zadanie 8

\(\displaystyle{ \begin{cases} \left| z - z _{0} \right| < R \\ \left| z - \left( 3 - 4i \right) \right| < 5 \end{cases} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ z _{0} = 3 - 4i \ \ oraz \ \ R = 5}\)

Rozwiązaniem jest wnętrze koła o środku \(\displaystyle{ z _{0} = 3 - 4i}\) i promieniu \(\displaystyle{ R = 5}\) - w tym wnętrzu koła mieszczą się końce liczb z.

[karolinaslabazmatmy]

Dziękuję Wam Kochani!!

P.S.
W zadaniu pierwszym należy wyliczyć sumę ciągu, w czwartym jest to równanie.

Miłego dnia!!!

[Psiaczek]

W zadaniu pierwszym należy wyliczyć sumę ciągu

Można zrobić to brutalnymi rachunkami , dokonując obserwacji

\(\displaystyle{ (1+i)^2=2i}\)

kolejne potęgi od trzeciej do jedenastej wynoszą

\(\displaystyle{ 2i-2,-4,-4-4i,-8i,-8i+8,16,16+16i,32i,32i-32}\)

po przesumowaniu na piechotę wszystkiego wychodzi \(\displaystyle{ 65i}\)

można też ze wzoru na sume geometrycznego,biorąc pod uwagę,że \(\displaystyle{ (1+i)^{12}=-64}\)

\(\displaystyle{ S= \frac{1-(1+i)^{12}}{1-(1+i)}= \frac{1-(-64)}{-i}=65i}\)

[karolinaslabazmatmy]

1. Jakie muszą być argumenty liczb \(\displaystyle{ Z_1, Z_2}\) (związek między nimi), aby iloczyn tych liczb był liczbą rzeczywistą.

2. Dla jakich naturalnych \(\displaystyle{ n}\) liczba
\(\displaystyle{ (1-i)^n \in \{Z \in \mathbb C: \textrm{Re} \; Z= \textrm{Im} \; Z \}}\)