Postać trygonometryczna i pierwiastki liczby zespolonej

[ViaDomus]

Mam problem z tymi zadaniami, mam nadzieje, że pomożecie.

1.Obliczyć wartości podanych wyrażeń(wynik podać w postaci algebraicznej).
a)\(\displaystyle{ (2 \sqrt{3} - 2i) ^{30}}\)
b)\(\displaystyle{ (1-i) ^{14}}\)

2.Korzystając z definicji, obliczyć pierwiastki.
a) \(\displaystyle{ \sqrt{-11+60i}}\)
b)\(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\)

3.Obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej podane pierwiastki.
a)\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-4}}\)
b)\(\displaystyle{ \sqrt[6]{-64}}\)

Bardzo prosiłabym o szczegółowe rozwiązania. Z góry dziękuje.

Mam jeszcze jedno pytanie. Jak się oblicza φ, we wzorze na pierwiastek?

[ares41]

Zacznijmy od pierwszego:

Zapisz każdą z liczb w postaci trygonometrycznej i skorzystaj ze wzoru de Moivre'a.

[Psiaczek]

2.Korzystając z definicji, obliczyć pierwiastki.

a)


szukamy \(\displaystyle{ a,b \in R}\) takich, że \(\displaystyle{ (a+bi)^2=-11+60i}\)

\(\displaystyle{ (a^2-b^2)+2abi=-11+60i}\)

przyrównujemy części rzeczywiste i urojone po obu stronach, otrzymując układ równań:

\(\displaystyle{ a^2-b^2=-11, ab=30}\)

ma on dwa rozwiązania \(\displaystyle{ a=5,b=6 \vee a=-5,b=-6}\)

czyli pierwiastkami będą \(\displaystyle{ 5+6i, -5-6i}\)



b) szukamy \(\displaystyle{ c,d \in R}\) takich że \(\displaystyle{ (c+di)^3=i=0+1i}\)

metodą jak wyżej dochodzimy do układu

\(\displaystyle{ c^3-3cd^2=0, -d^3+3c^2d=1}\)

pierwsze równanie \(\displaystyle{ c(c^2-3d^2)=0}\)

jeśli \(\displaystyle{ c=0}\) to z drugiego \(\displaystyle{ d=-1}\) pierwszy pierwiastek \(\displaystyle{ -i}\)

jeśli z pierwszego \(\displaystyle{ c^2=3d^2}\)

to drugie \(\displaystyle{ 8d^3=1, d= \frac{1}{2}}\) ,

wtedy \(\displaystyle{ c=- \frac{ \sqrt{3} }{2} \vee c= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) no i koniec tylko wypisać pozostałe dwa pierw.