Znaleźć zbiór liczb zespolonych spełniających nierówność

[patryk007]

Niech \(\displaystyle{ D_1=\{z\in\mathbb{C}:\;-\pi/2<\arg{z}<\pi/2 \; \wedge \; 2\cos{(\arg{z})}<|z|<4\cos{(\arg{z}})\}}\)

Co to za zbiór?

W odpowiedziach jest, że to \(\displaystyle{ \{z\in\mathbb{C}:\;1<|z-1|<2\}}\).

Jednak nie bardzo chce mi tak wyjść.
Robię to tak:
\(\displaystyle{ \arg{z}=\varphi\\z=x+i\cdot y\qquad x,y\in\mathbb{R}}\)

Rozważę tę część nierówności: \(\displaystyle{ |z|<4\cos{\arg{z}}}\)
Ustalmy, że \(\displaystyle{ varphi = arg{z}in [-frac{pi}{2},;frac{3}{2}pi)}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ \cos{\varphi}=\frac{x}{|z|}}\)

Wartości funkcji \(\displaystyle{ \arccos{\omega}}\) należą do przedziału \(\displaystyle{ [0,\;\pi]}\) a my mamy inny przedział więc robię taki myk:
\(\displaystyle{ \cos{\varphi}=\frac{x}{|z|}\in[-1,\; 1] \\ \cos{(\varphi+\pi )}=-\frac{x}{|z|}}\)
Więc \(\displaystyle{ \arccos{-\frac{x}{|z|}}=\arccos{\frac{x}{|z|}}=\varphi + \pi}\)

Podstawiam do nierówności \(\displaystyle{ |z|<4\cos{(\arg{z})} = 4\cdot\cos{\varphi}}\) i mam:
\(\displaystyle{ |z|<4\cos{(\arccos{\frac{x}{|z|}} - \pi )} \\ |z|<-4\cos{(\arccos{\frac{x}{|z|}} )} \\ |z|<-4\cdot {\frac{x}{|z|}} \; \hbox{podstawiając}\;z=x+i\cdot y \; \hbox{mamy:}\\
x^2+y^2<-4x \\ (x+2)^2+y^2<2^2}\)

co się nie zgadza z odp. Co jest ŹLE?!

[Dasio11]

Odpowiedź wygląda mi na błędną, podobnie niestety twoje rozumowanie.

Wartości funkcji \(\displaystyle{ \arccos{\omega}}\) należą do przedziału \(\displaystyle{ [0,\;\pi]}\) a my mamy inny przedział więc robię taki myk:
\(\displaystyle{ \cos{\varphi}=\frac{x}{|z|}\in[-1,\; 1] \\ \cos{(\varphi+\pi )}=-\frac{x}{|z|}}\)
Więc \(\displaystyle{ \arccos{-\frac{x}{|z|}}=\arccos{\frac{x}{|z|}}=\varphi + \pi}\)

Nie za bardzo rozumiem tej części rozwiązania. Liczba \(\displaystyle{ \varphi + \pi}\) również nie musi należeć do przedziału \(\displaystyle{ [0, \pi],}\) a więc niekoniecznie \(\displaystyle{ \cos \left( \varphi + \pi \right) = a \Leftrightarrow \arccos a = \varphi + \pi.}\) Ogólnie rzecz biorąc, taka zabawa z wyznaczaniem kąta liczby zespolonej funkcją \(\displaystyle{ \arccos}\) jest raczej śliska - należy każde przejście bardzo dokładnie opisywać, co by się nie pogmatwać. A najlepiej w ogóle zapomnieć o funkcjach cyklometrycznych.

Dla każdej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z=x+y \mathrm i \neq 0}\) zachodzi wzór \(\displaystyle{ \frac{x}{|z|} = \cos \arg z,}\) więc warunek

\(\displaystyle{ 2 \cos \arg z < |z| < 4 \cos \arg z}\)

można inaczej zapisać jako

\(\displaystyle{ 2x<|z|^2<4x}\)

co rozwiązuje się podstawiając \(\displaystyle{ |z|^2=x^2+y^2.}\)

Na koniec przydałoby się jeszcze uwzględnić warunek \(\displaystyle{ - \frac{\pi}{2} < \arg z < \frac{\pi}{2}}\) - który, nawiasem mówiąc, bezwzględnie wyklucza podaną odpowiedź

\(\displaystyle{ \{z\in\mathbb{C}:\;1<|z-1|<2\}}\)

[patryk007]

Nie za bardzo rozumiem tej części rozwiązania. Liczba \(\displaystyle{ \varphi + \pi}\) również nie musi należeć do przedziału \(\displaystyle{ [0, \pi],}\) a więc niekoniecznie \(\displaystyle{ \cos \left( \varphi + \pi \right) = a \Leftrightarrow \arccos a = \varphi + \pi.}\)

Ale tam napisałem do jakiego przedziału należy \(\displaystyle{ \varphi}\). Nie mogę zrobić takiego założenia?

należy każde przejście bardzo dokładnie opisywać, co by się nie pogmatwać.

Właśnie chciałbym na podstawie tego co napisałem znaleźć błąd w rozumowaniu. Skoro już się porwałem na cyklometryczne f-cje to właśnie starałem się wytłumaczyć każdy krok. Niestety na czymś się wywaliłem i nie wiem na czym.

[Dasio11]

Ale tam napisałem do jakiego przedziału należy \(\displaystyle{ \varphi}\). Nie mogę zrobić takiego założenia?

Możesz.

Skoro już się porwałem na cyklometryczne f-cje to właśnie starałem się wytłumaczyć każdy krok. Niestety na czymś się wywaliłem i nie wiem na czym.

No dobrze. To opisz proszę możliwie dokładnie, jak otrzymałeś

\(\displaystyle{ \arccos \frac{x}{|z|}=\varphi + \pi,}\)

bo to nie jest prawdziwe, choćby dla \(\displaystyle{ z=\mathrm i+\sqrt{3}.}\)