rozwiąż nierówność

[sorcerer123]

\(\displaystyle{ \left| z^2+4\right| \le \left| z-2\mathrm i\right|}\)

nie bardzo wiem jak zrobić
może tak:

\(\displaystyle{ z=x+ \mathrm iy}\)

\(\displaystyle{ \left| x^2+2\mathrm ixy-y^2+4\right| \le \left| x+(y-2) \mathrm i\right|}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x^2-y^2+4)^2+(2xy)^2} \le \sqrt{x^2+(y-2)^2}}\)
\(\displaystyle{ x^4+y^4+16-4x^2y^2+8x^2-8y^2+4x^2y^2 \le x^2+y^2-4y+4}\)

nie wiem, czy z tego coś wyjdzie

[Dasio11]

Podpowiedź:

\(\displaystyle{ z^2+4 = \left( z+ 2 \mathrm i \right) \left( z - 2 \mathrm i \right)}\)

[sorcerer123]

bardzo cenna wskazówka, ale nie wiem jak dalej

\(\displaystyle{ \left| \left( z- 2 \mathrm i \right) \left( z + 2 \mathrm i \right)\right| \le \left| \left( z - 2 \mathrm i \right)\right|}\)

\(\displaystyle{ \left| \left( x+(y-2)\mathrm i \right) \left( x+(y+2)\mathrm i \right)\right| \le \left| x+(y-2)\mathrm i\right|}\)

[abc666]

\(\displaystyle{ |(z-2i)(z+2i)|=|z-2i|\cdot |z+2i|}\)

[sorcerer123]

no to wiem, to teraz będzie trzeba podzielić obie strony nierówności?

[abc666]

Od razu nie. Musisz rozpatrzeć dwa przypadki. Kiedy \(\displaystyle{ z=2i}\) i \(\displaystyle{ z\neq 2i}\)

[sorcerer123]

1. dla \(\displaystyle{ z-2\mathrm i =0}\)

\(\displaystyle{ z=x+\mathrm i y}\)

\(\displaystyle{ x+(y-2)\mathrm i =0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases}}\)

2. dla \(\displaystyle{ z-2\mathrm i \neq 0}\)

\(\displaystyle{ \left| x+(y+2)\mathrm i \right| \le 1}\)

\(\displaystyle{ -1 \le x+(y+2)\mathrm i \le 1}\)

\(\displaystyle{ x+(y+2)\mathrm i \le 1}\) i \(\displaystyle{ x+(y+2)\mathrm i \ge -1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \le 1 \\ y=-2 \end{cases}}\) i \(\displaystyle{ \begin{cases} x \ge -1 \\ y=-2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ y=-2 \end{cases}}\)

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \left| x+(y+2)\mathrm i \right| \le 1}\)

\(\displaystyle{ -1 \le x+(y+2)\mathrm i \le 1}\)

To przejście jest niedopuszczalne. Definicja modułu liczby zespolonej to

\(\displaystyle{ |x+ \mathrm i y| = \sqrt{x^2+y^2}}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in \mathbb{R},}\)

dlatego \(\displaystyle{ \left| x+(y+2)\mathrm i \right| \le 1}\) oznacza

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+ (y+2)^2} \le 1.}\)


Podwójna nierówność \(\displaystyle{ -1 \le x+(y+2)\mathrm i \le 1}\) jest pozbawiona sensu, bo w liczbach zespolonych nie określa się relacji większości czy mniejszości.