Wielomian zespolony.

[chiq]

Witam.

Mam problem z takim zadaniem:

Rozwiąż równanie wiedząc, że \(\displaystyle{ z=i}\) jest jego pierwiastkiem:
\(\displaystyle{ z^7-iz^6+2z^4-2iz^3+2z-2i=0}\)

Względnie bezproblemowo uzyskałem takie uproszczenie:
\(\displaystyle{ z=i \vee z^3=-1-i \vee z^3=-1+i}\)

Niestety w dalszej czesci moich prob rozwiazania uzyskuje:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-1-i}=\sqrt[6]{2}(cos\frac{5\pi+8k\pi}{12}+i sin\frac{5\pi+8k\pi}{12}), k\in\{0,1,2\}}\),
wydaje mi się, że \(\displaystyle{ \sqrt[6]{2}}\) i taki argument funkcji trygonometrycznych mogą sugerować, że można podejść do tego zadania inaczej.

Czy istnieje prostsza metoda rozwiązania takiego równania, najlepiej nie wymagająca znajomości wartości funkcji trygonometrycznych dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\)?

[Lorek]

Istnieje metoda taka, że zakładasz \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-1-i}=x+iy}\) i stąd wyznaczasz \(\displaystyle{ x,y}\), choć nie wydaje mi się, żeby było to łatwiejsze niż wyznaczenie wartości dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\).

[Dasio11]

Ale dalsza część wcale nie jest trudna:

\(\displaystyle{ z_2 = \sqrt[6]{2} \left( \cos \frac{21 \pi}{12} + \mathrm i \sin \frac{21 \pi}{12} \right) = \sqrt[6]{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \mathrm i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} (1-\mathrm i)}\)

Pozostałe pierwiastki można wyznaczyć, mnożąc \(\displaystyle{ z_2}\) przez pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki:

\(\displaystyle{ \omega = - \frac{1}{2} + \mathrm i \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\
\omega^2 = -\frac{1}{2} - \mathrm i \frac{\sqrt{3}}{2}}\)

[chiq]

Nie znałem tej sztuczki z mnożeniem przez pierwiastki z jedynki. Jak to działa?

[Dasio11]

Z tego wyprowadza się wzory na pierwiastki. Zauważamy, że jeśli

\(\displaystyle{ \omega = \cos \frac{2 \pi}{n} + \mathrm i \sin \frac{2 \pi}{n}}\)

jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki oraz jeśli

\(\displaystyle{ z_0=\sqrt[n]{ \left| u \right|} \left( \cos \frac{\varphi}{n} + \mathrm i \sin \frac{\varphi}{n} \right)}\)

spełnia równanie \(\displaystyle{ z^n = u,}\) gdzie

\(\displaystyle{ u = \left|u \right| \left( \cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi \right),}\)

to wówczas dla \(\displaystyle{ k=0, 1, 2, \ldots, n-1}\) liczby

\(\displaystyle{ z_k = z_0 \omega^k = \sqrt[n]{ \left| u \right|} \left( \cos \frac{\varphi + 2k \pi}{n} + \mathrm i \sin \frac{\varphi + 2k \pi}{n} \right)}\)

również spełniają równanie \(\displaystyle{ z^n=u.}\) Istotnie,

\(\displaystyle{ \left( z_k \right)^n = \left(z_0 \omega^k \right)^n =\left(z_0 \right)^n \left( \omega^n \right)^k = u \cdot 1^k = u}\)


Innych pierwiastków nie ma. Załóżmy bowiem, że

\(\displaystyle{ z=|z| \left( \cos \psi + \mathrm i \sin \psi \right)}\)

spełnia \(\displaystyle{ z^n=u.}\) Ponieważ

\(\displaystyle{ z^n = |z|^n \left( \cos n \psi + \mathrm i \sin n \psi \right),}\)

to musi być

\(\displaystyle{ u = |z|^n \left( \cos n \psi + \mathrm i \sin n \psi \right),}\)

a więc

\(\displaystyle{ \begin{cases} |z| = \sqrt[n]{|u|} \\ \\ n \psi - \varphi = 2k \pi \quad \text{dla pewnego } k \in \mathbb{Z} \end{cases}}\)

a stąd

\(\displaystyle{ \psi = \frac{\varphi + 2k \pi}{n}.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ 0 \le k \le n-1,}\) to \(\displaystyle{ z=z_k}\) (a więc jest to 'stary' pierwiastek), a jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest inne, to da się przedstawić w postaci

\(\displaystyle{ k=l+m \cdot n}\)

dla pewnych \(\displaystyle{ l \in \{ 0, 1, 2, \ldots , n-1 \}}\) oraz \(\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}.}\) Wówczas

\(\displaystyle{ \psi = \frac{\varphi + 2 l \pi}{n} + 2m \pi}\)

a więc \(\displaystyle{ z}\) jest jedną z liczb \(\displaystyle{ z_k}\) obróconą o pewną całkowitą wielokrotność \(\displaystyle{ 2 \pi}\) wokół środka układu współrzędnych, a więc jest tożsama z \(\displaystyle{ z_k.}\)