Witam.
Mam problem z takim zadaniem:
Rozwiąż równanie wiedząc, że \(\displaystyle{ z=i}\) jest jego pierwiastkiem:
\(\displaystyle{ z^7-iz^6+2z^4-2iz^3+2z-2i=0}\)
Względnie bezproblemowo uzyskałem takie uproszczenie:
\(\displaystyle{ z=i \vee z^3=-1-i \vee z^3=-1+i}\)
Niestety w dalszej czesci moich prob rozwiazania uzyskuje:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-1-i}=\sqrt[6]{2}(cos\frac{5\pi+8k\pi}{12}+i sin\frac{5\pi+8k\pi}{12}), k\in\{0,1,2\}}\),
wydaje mi się, że \(\displaystyle{ \sqrt[6]{2}}\) i taki argument funkcji trygonometrycznych mogą sugerować, że można podejść do tego zadania inaczej.
Czy istnieje prostsza metoda rozwiązania takiego równania, najlepiej nie wymagająca znajomości wartości funkcji trygonometrycznych dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\)?
Wielomian zespolony.
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Wielomian zespolony.
Istnieje metoda taka, że zakładasz \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-1-i}=x+iy}\) i stąd wyznaczasz \(\displaystyle{ x,y}\), choć nie wydaje mi się, żeby było to łatwiejsze niż wyznaczenie wartości dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\).
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Wielomian zespolony.
Ale dalsza część wcale nie jest trudna:
\(\displaystyle{ z_2 = \sqrt[6]{2} \left( \cos \frac{21 \pi}{12} + \mathrm i \sin \frac{21 \pi}{12} \right) = \sqrt[6]{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \mathrm i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} (1-\mathrm i)}\)
Pozostałe pierwiastki można wyznaczyć, mnożąc \(\displaystyle{ z_2}\) przez pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki:
\(\displaystyle{ \omega = - \frac{1}{2} + \mathrm i \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\
\omega^2 = -\frac{1}{2} - \mathrm i \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ z_2 = \sqrt[6]{2} \left( \cos \frac{21 \pi}{12} + \mathrm i \sin \frac{21 \pi}{12} \right) = \sqrt[6]{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \mathrm i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} (1-\mathrm i)}\)
Pozostałe pierwiastki można wyznaczyć, mnożąc \(\displaystyle{ z_2}\) przez pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki:
\(\displaystyle{ \omega = - \frac{1}{2} + \mathrm i \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\
\omega^2 = -\frac{1}{2} - \mathrm i \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Wielomian zespolony.
Z tego wyprowadza się wzory na pierwiastki. Zauważamy, że jeśli
\(\displaystyle{ \omega = \cos \frac{2 \pi}{n} + \mathrm i \sin \frac{2 \pi}{n}}\)
jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki oraz jeśli
\(\displaystyle{ z_0=\sqrt[n]{ \left| u \right|} \left( \cos \frac{\varphi}{n} + \mathrm i \sin \frac{\varphi}{n} \right)}\)
spełnia równanie \(\displaystyle{ z^n = u,}\) gdzie
\(\displaystyle{ u = \left|u \right| \left( \cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi \right),}\)
to wówczas dla \(\displaystyle{ k=0, 1, 2, \ldots, n-1}\) liczby
\(\displaystyle{ z_k = z_0 \omega^k = \sqrt[n]{ \left| u \right|} \left( \cos \frac{\varphi + 2k \pi}{n} + \mathrm i \sin \frac{\varphi + 2k \pi}{n} \right)}\)
również spełniają równanie \(\displaystyle{ z^n=u.}\) Istotnie,
\(\displaystyle{ \left( z_k \right)^n = \left(z_0 \omega^k \right)^n =\left(z_0 \right)^n \left( \omega^n \right)^k = u \cdot 1^k = u}\)
Innych pierwiastków nie ma. Załóżmy bowiem, że
\(\displaystyle{ z=|z| \left( \cos \psi + \mathrm i \sin \psi \right)}\)
spełnia \(\displaystyle{ z^n=u.}\) Ponieważ
\(\displaystyle{ z^n = |z|^n \left( \cos n \psi + \mathrm i \sin n \psi \right),}\)
to musi być
\(\displaystyle{ u = |z|^n \left( \cos n \psi + \mathrm i \sin n \psi \right),}\)
a więc
\(\displaystyle{ \begin{cases} |z| = \sqrt[n]{|u|} \\ \\ n \psi - \varphi = 2k \pi \quad \text{dla pewnego } k \in \mathbb{Z} \end{cases}}\)
a stąd
\(\displaystyle{ \psi = \frac{\varphi + 2k \pi}{n}.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ 0 \le k \le n-1,}\) to \(\displaystyle{ z=z_k}\) (a więc jest to 'stary' pierwiastek), a jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest inne, to da się przedstawić w postaci
\(\displaystyle{ k=l+m \cdot n}\)
dla pewnych \(\displaystyle{ l \in \{ 0, 1, 2, \ldots , n-1 \}}\) oraz \(\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}.}\) Wówczas
\(\displaystyle{ \psi = \frac{\varphi + 2 l \pi}{n} + 2m \pi}\)
a więc \(\displaystyle{ z}\) jest jedną z liczb \(\displaystyle{ z_k}\) obróconą o pewną całkowitą wielokrotność \(\displaystyle{ 2 \pi}\) wokół środka układu współrzędnych, a więc jest tożsama z \(\displaystyle{ z_k.}\)
\(\displaystyle{ \omega = \cos \frac{2 \pi}{n} + \mathrm i \sin \frac{2 \pi}{n}}\)
jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki oraz jeśli
\(\displaystyle{ z_0=\sqrt[n]{ \left| u \right|} \left( \cos \frac{\varphi}{n} + \mathrm i \sin \frac{\varphi}{n} \right)}\)
spełnia równanie \(\displaystyle{ z^n = u,}\) gdzie
\(\displaystyle{ u = \left|u \right| \left( \cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi \right),}\)
to wówczas dla \(\displaystyle{ k=0, 1, 2, \ldots, n-1}\) liczby
\(\displaystyle{ z_k = z_0 \omega^k = \sqrt[n]{ \left| u \right|} \left( \cos \frac{\varphi + 2k \pi}{n} + \mathrm i \sin \frac{\varphi + 2k \pi}{n} \right)}\)
również spełniają równanie \(\displaystyle{ z^n=u.}\) Istotnie,
\(\displaystyle{ \left( z_k \right)^n = \left(z_0 \omega^k \right)^n =\left(z_0 \right)^n \left( \omega^n \right)^k = u \cdot 1^k = u}\)
Innych pierwiastków nie ma. Załóżmy bowiem, że
\(\displaystyle{ z=|z| \left( \cos \psi + \mathrm i \sin \psi \right)}\)
spełnia \(\displaystyle{ z^n=u.}\) Ponieważ
\(\displaystyle{ z^n = |z|^n \left( \cos n \psi + \mathrm i \sin n \psi \right),}\)
to musi być
\(\displaystyle{ u = |z|^n \left( \cos n \psi + \mathrm i \sin n \psi \right),}\)
a więc
\(\displaystyle{ \begin{cases} |z| = \sqrt[n]{|u|} \\ \\ n \psi - \varphi = 2k \pi \quad \text{dla pewnego } k \in \mathbb{Z} \end{cases}}\)
a stąd
\(\displaystyle{ \psi = \frac{\varphi + 2k \pi}{n}.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ 0 \le k \le n-1,}\) to \(\displaystyle{ z=z_k}\) (a więc jest to 'stary' pierwiastek), a jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest inne, to da się przedstawić w postaci
\(\displaystyle{ k=l+m \cdot n}\)
dla pewnych \(\displaystyle{ l \in \{ 0, 1, 2, \ldots , n-1 \}}\) oraz \(\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}.}\) Wówczas
\(\displaystyle{ \psi = \frac{\varphi + 2 l \pi}{n} + 2m \pi}\)
a więc \(\displaystyle{ z}\) jest jedną z liczb \(\displaystyle{ z_k}\) obróconą o pewną całkowitą wielokrotność \(\displaystyle{ 2 \pi}\) wokół środka układu współrzędnych, a więc jest tożsama z \(\displaystyle{ z_k.}\)