Liczby zespolone - wzory redukcyjne

[Eldiane]

Witam ponownie, znów muszę poradzić się fachowców, a mianowicie mam zadanie o treści
Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby i jedne przykład jest "problematyczny"

d) \(\displaystyle{ \frac{4 + 4 \sqrt{3}i }{ \sqrt{3} -i}= \frac{4 + 4 \sqrt{3}i }{ \sqrt{3} -i} \cdot \frac{ \sqrt{3} +i}{\sqrt{3} +i}= \frac{16i}{4}=4i}\)

Rez = 0
Imz = 4
|z| = 4

\(\displaystyle{ \begin{cases} cos \alpha =0\\sin \alpha =1\end{cases} \Rightarrow \alpha = \frac{ \pi }{2}}\)

Więc odpowiedź powinna być: \(\displaystyle{ \left 4( cos\left( \frac{ \pi }{2} \right) + i \cdot sin\left( \frac{ \pi }{2} \right)\right)}\)

Natomiast w odpowiedziach jest: \(\displaystyle{ \left 4( cos\left( - \frac{ 3 }{2} \pi \right) + i \cdot sin\left( - \frac{ 3 }{2} \pi \right)\right)}\)

mógłby ktoś pomóc?
Z góry dziękuje, Eldiane

[Afish]

Ale ile wynoszą sinus i kosinus kąta \(\displaystyle{ -\frac{3}{2}\pi}\) ?

[Eldiane]

tyle samo co \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\)? ;P

Jeśli tak to dlaczego akurat w podręczniku podano \(\displaystyle{ -\frac{3}{2} \pi}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\)?

Właśnie tego za bardzo nie zrozumiałem, ostatecznością było narysowanie wykresów obu funkcji i zobaczenie czy faktycznie mają się tak samo dla tych dwóch wyników, i faktycznie pięknie wszystko widać na wykresie, tylko jak przeszli z postaci \(\displaystyle{ -\frac{3}{2} \pi}\) do \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\)?

Fajnie by było jakby ktoś to wyjaśnił...

[Psiaczek]

Fajnie by było jakby ktoś to wyjaśnił...

Za dużo do wyjaśniania tu nie ma:

-funkcje sinus i kosinus mają okres \(\displaystyle{ 2 \pi}\)

-możesz też spojrzeć na to w ten sposób: obrót o 90 stopni w lewo da to samo co obrót o 270 stopni w prawo

-w różnych książkach zapewne różne przedziały na ten główny argument przyjmują, faktycznie twoja odpowiedź jest rzadko spotykana zwykle argument jest od zera do dwa pi lub tez od minus pi do pi.

[Eldiane]

Czyli mogę przyjąć że obie odpowiedzi są poprawne a co za tym idzie, ani w książce ani w obliczeniach błędu nie popełniłem?

Widzicie, założyłem się z kolegą który twierdzi że jest błąd w podręczniku, ja na początku twierdziłem ze tylko jedna odpowiedz jest dobra, chodź po narysowaniu tych wykresów faktycznie obie pasują.

W jaki sposób to odebrać? ;>

[Gabriel_Gotti]

Tą odpowiedź z książki uzyskuje się kiedy zrobisz obliczenia według wzoru na dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej tzn.

\(\displaystyle{ z_{1} =4+4 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ z _{2}= \sqrt{3} -i}\)

i jedziesz według wzoru