Dla jakich n, liczba jest rzeczywista

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
adambak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1272
Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 295 razy
Pomógł: 115 razy

Dla jakich n, liczba jest rzeczywista

Post autor: adambak »

Niech \(\displaystyle{ z \in \mathbb{C}}\). Zbadaj dla jakich \(\displaystyle{ n \in \left\{ 1,2,....\right\}}\) liczba \(\displaystyle{ (z+i\overline{z})^n}\) jest rzeczywista..

standard, czyli robię \(\displaystyle{ z=a+bi}\), wtedy:

\(\displaystyle{ (a+bi+i(a-bi))^n= (a+b +i(a+b))^n}\)

i teraz nie wiem co.. jeśli ma być rzeczywista to jej część urojona musi być równa zero.. w przypadku takich potęg najlepiej by było z de Moivre'a, ale wtedy wychodzi że musi być:

\(\displaystyle{ \sin (n \cdot \alpha)=0}\)

bo ten człon odpowiada za część urojoną, jednak nie wiem co zrobić z argumentem \(\displaystyle{ \alpha}\), skąd go wziąć..

-- 12 paź 2011, o 22:34 --

ok, w takim razie \(\displaystyle{ n \cdot \alpha=k \cdot \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\) czyli \(\displaystyle{ n= \frac{k \pi}{\alpha}}\), z kolei \(\displaystyle{ \sin \alpha= \frac{(a+b)}{\sqrt{2}(a+b)}= \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha= \frac{\pi}{4}}\) i teraz już pytanie dla jakich \(\displaystyle{ n}\) jest banalne, bo podstawiam tą alfę i mam..

\(\displaystyle{ n=4k}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\)

dobrze?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Dla jakich n, liczba jest rzeczywista

Post autor: Lorek »

\(\displaystyle{ (a+b+i(a+b))^n=(a+b)^n (1+i)^n}\)
a z tego co napisałeś też się da coś wyciągnąć, tyle, że \(\displaystyle{ \sin\alpha =\frac{(a+b)}{\sqrt{a}|a+b|}}\) i to o ile \(\displaystyle{ a+b\neq 0}\).
adambak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1272
Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 295 razy
Pomógł: 115 razy

Dla jakich n, liczba jest rzeczywista

Post autor: adambak »

hmm.. wybacz, trochę nie rozumiem..

co nam daje taka postać: \(\displaystyle{ (a+b)^n (1+i)^n}\)? bo w tej chwili jest liczba rzeczywista razy liczba zespolona i nie wiem jak dalej to rozpisać.. jak mam samą zespoloną to oczywiście de Moivre i po kłopocie.. dziękuję za uwagę z \(\displaystyle{ a+b}\) w module, taka rzecz a wstyd jak często się zapomina.. teraz mam kłopot, bo skoro jest moduł to nie mogę po prostu skrócić, więc sprawa się komplikuje.. w zadaniu dali tylko \(\displaystyle{ z}\) a wszystkie te działania na \(\displaystyle{ a,b}\) są pomocnicze, dlatego dziwne wydaje mi się rozważanie tutaj przypadków.. jakaś wskazówka? bo teraz czy odpowiedź do zadania trochę się zmieni?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Dla jakich n, liczba jest rzeczywista

Post autor: Lorek »

\(\displaystyle{ (a+b)^n}\) jest liczbą rzeczywistą, więc żeby całość była rzeczywista, to \(\displaystyle{ (1+i)^n}\) musi być rzeczywista (no, z jednym wyjątkiem, ale to spróbuj sam się domyślić jakim). A \(\displaystyle{ \frac{a+b}{|a+b|}=\pm 1}\), więc byłyby 2 przypadki (+ trzeci co w przypadku gdy \(\displaystyle{ a+b=0}\)).
adambak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1272
Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 295 razy
Pomógł: 115 razy

Dla jakich n, liczba jest rzeczywista

Post autor: adambak »

wielkie dzięki Lorek
ODPOWIEDZ