Zapisz liczby w postaci a+bi

[adambak]

Zapisz liczby w postaci \(\displaystyle{ a+bi}\):

\(\displaystyle{ (a) \ \left( \frac{1+i}{ \sqrt{3}+i } \right)^{25}}\)


\(\displaystyle{ (b) \ \frac{( \sqrt{3} +3i)^{40}}{(\sqrt{3}+i)^{20}}}\)

w podpunkcie \(\displaystyle{ (a)}\) z de Moivre'a wychodzi argument liczby zespolonej \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\), czyli masakra bo nie mam jak wyznaczyć części urojonej i rzeczywistej.. na \(\displaystyle{ (b)}\) nie mam pomysłu.. pomożecie?

[Lorek]

No akurat wyznaczenie argumentu to tu jest najtrudniejszą częścią zadania, bo i co trudnego dalej?
Inny sposób:
\(\displaystyle{ \frac{1+i}{\sqrt{3}+i}=\frac{\frac{1+i}{2}}{\frac{\sqrt{3}+i}{2}}}\)
i osobno rozpatrujesz licznik i mianownik.
b) osobno policz licznik i mianownik.

[adambak]

ale właśnie się dziwiłem, bo w takim razie w \(\displaystyle{ (a)}\) nie mam jak zapisać w postaci \(\displaystyle{ a+bi}\)? taki dziwny argument, nie mam jak tego policzyć..

w \(\displaystyle{ (b)}\) wychodzi mi:

\(\displaystyle{ \frac{ \left( 2\sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3} \right) \right) ^{40}}{ \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6} \right) \right) ^{20}}}\)

to w sumie szkoda że wcześniej nie wpadłem, bo stosuję w czymś takim 2x wzór de Moivre'a i po kłopocie?:

\(\displaystyle{ \frac{ \left( 2\sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3} \right) \right) ^{20}}{ \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6} \right) \right) ^{20}} \cdot \left( 2\sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3} \right) \right) ^{20}}\)

argumenty wyjdą ładne, więc koniec końców uda mi się zapisać w postaci \(\displaystyle{ a+bi}\) ale w tym pierwszym podpunkcie to jakoś nie bardzo..

[Lorek]

Nawet niepotrzebnie rozbijałeś tę potęgę z licznika na iloczyn dwóch, ale jak tam chcesz. A w tym pierwszym to co jest nie tak? Masz coś w stylu \(\displaystyle{ |z|^{25} \left( \cos \frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12} \right) ^{25}=|z|^{25} \left( \cos\frac{25\pi}{12}+i\sin\frac{25\pi}{12} \right) =|z|^{25} \left( \cos \frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12} \right)}\) co nie? I co dalej nie idzie?

[adambak]

dokładnie tak mam.. no i teraz postać z \(\displaystyle{ i}\) to będzie:

\(\displaystyle{ \left| z\right|^{25}\right|\cos \frac{\pi}{12} + \left| z\right|^{25}\right|\sin\frac{\pi}{12} \cdot i}\), gdzie za moduł wstawiam oczywiście co trzeba i jest dobrze? po prostu przestraszyłem się, że mi źle wychodzi bo skoro kazali przedstawić w postaci \(\displaystyle{ z=a+bi}\) a ja nie wiem ile to \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{12}}\) to NAPEWNO mam źle.. wiem, śmieszne ale tak też chyba ładnie wygląda bo \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{12}}\) i \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{12}}\) to konkretne wartości..

[Lorek]

Hm, skoro nie wiesz ile to jest \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{12}}\) to skąd wiedziałeś jaki będzie argument? ;>

[adambak]

z tego, że jak dzielimy dwie liczby zespolone to: \(\displaystyle{ arg \left( \frac{z}{w} \right) =arg(z)-arg(w)}\)..

[Lorek]

Jak tak, to obłóż to równanie co właśnie zapisałeś cosinusem, i po prawej będziesz miał do obliczenia cosinus różnicy znanych kątów.

[adambak]

no tak, racja.. trochę sporo liczenia.. z ciekawości i lenistwa: nie można zostawić z tym cosinusem i sinusem z \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\)?

[Lorek]

Można, ale po co, skoro się da policzyć

[adambak]

ok, policzę bo lenistwo i tak zazwyczaj nie popłaca.. jeszcze raz wielkie dzięki za pomoc