postać trygonometryczna liczby

[mario5046]

stosując postać trygonometryczną liczby zespolonej \(\displaystyle{ z= \frac{1-i}{1+i}}\)
oblicz:
\(\displaystyle{ z ^{30}}\)

\(\displaystyle{ |z^8|}\)

jak to ugryźć ?

[ares41]

\(\displaystyle{ z= \frac{1-i}{1+i}= \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=-i}\)
Liczbę \(\displaystyle{ z}\) zamieniasz teraz na postać trygonometryczną i stosujesz wzór de Moivre'a.
Sposób masz opisany tutaj.

[mario5046]

czy można to zrobić nie stosując wzoru de Moivera, chodzi mi o trochę łatwiejszy sposób.?

[adambak]

nie da rady.. tzn zależy co rozumiesz przez łatwiejszy sposób.. możesz zrobić ze wzoru Newtona, proste ale nie polecam wzór de Moivrea jest do takich obliczeń najlepszy..-- 13 paź 2011, o 16:16 --poza tym kazali zrobić to stosując postać trygonometryczną, więc ten wzór sam się nasuwa..

[mario5046]

może ktoś rozwiązać te 2 przykłady od początku do końca? Jestem wzrokowcem i tylko to mi pomoże a nie wykład teoretyczny.

[adambak]

zrobię pierwszy przykład, bo to będzie chyba krytyczne i dalej sam pójdziesz.. a muszę jeszcze się na jutro przygotować

\(\displaystyle{ z= \frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-2i+i^2}{1-i^2}=\frac{-2i}{2}=-i}\)

czyli to odpowiada punktowi na płaszczyźnie Gaussa \(\displaystyle{ (0;-1)}\).. żeby obliczyć taką dużą potęgę zastosujemy wzór de Moivre'a:

\(\displaystyle{ z^n=\left| z\right|^n\left( \cos (n \cdot \alpha) + i \sin (n \cdot \alpha)\right)}\)

dla nas \(\displaystyle{ n=30}\), \(\displaystyle{ \left| z\right| =\sqrt{0^2+(-1)^2}=1}\)

z kolei argument \(\displaystyle{ \alpha}\) jak widać na rysunku to będzie \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}}\), podstawiamy:

\(\displaystyle{ z^{30}=1^{30}(\cos (-15 \pi) + i \sin (-15 \pi))=-1+i \cdot 0 = -1}\)

i koniec.. poprawność rachunków mozna sprawdzić na wolframalpha, wyszł odobrze..

[mario5046]

super teraz to zrozumiałem

natomiast mam wątpliwości co do
\(\displaystyle{ |z^{8}|}\)
co w takim przypadku zmieni się w obliczeniach?

[adambak]

no cóż, ja bym zrobił tak jak wcześniej, tzn najpierw policzył \(\displaystyle{ z^8}\), a następnie z wyniku wziął moduł.. i teraz od wyniku zależy jak moduł będziemy liczyć.. jak będzie to liczba zepolona to ze wzoru, jak rzeczywista - to normalny moduł.. w tym przypadku będzie to rzeczywista \(\displaystyle{ 1}\), a więc i taki wynik..

[Dasio11]

nie da rady.. tzn zależy co rozumiesz przez łatwiejszy sposób.. możesz zrobić ze wzoru Newtona, proste ale nie polecam

Hmmm, no akurat \(\displaystyle{ \mathrm i^{30}}\) czy \(\displaystyle{ \left| \mathrm i^8 \right|}\) nie wymaga użycia wzoru Newtona...

[adambak]

no racja.. nie wiem o co mi wtedy chodziło... dzięki za wskazanie głupoty