zadania z liczb zespolonych

[mario5046]

Oto zadanka z liczb zespolonych, jeżeli ktoś może to proszę o pomoc w rozwiązaniu oraz wytłumaczenie:
Znajdź \(\displaystyle{ \text{Re}(z) \text{ i }\text{Im}(z)}\):

\(\displaystyle{ z= \frac{ (3+2i) ^{2}(i-1)}{2+i} \\
z= \frac{i ^{2}8(i-1) ^{3} }{(1+i) ^{2}} \\
z= \frac{(3-2i)(5+i)}{1-3i}}\)

[ares41]

Doprowadź te liczby do postaci \(\displaystyle{ z=a+bi}\).

[mario5046]

możesz pokazać jak to zrobić na jednym przykładzie ?

[adambak]

liczniki powymnażać i doprowadzić do takiej postaci jak pisze ares41.. w niektórych przypadkach można rozszerzać ułamek o sprzężenie mianownika, ale można też zastosować wzór de Moievra, który dla ilorazu dwóćh liczb zespolonych \(\displaystyle{ z=\left| z\right|(\cos \alpha +i \sin \alpha)}\) oraz \(\displaystyle{ w=\left| w\right|(\cos \beta + i \sin \beta)}\) działać będzie tak:

\(\displaystyle{ \frac{z}{w}= \frac{\left| z\right| }{\left| w\right| } (\cos (\alpha-\beta) + i \sin(\alpha-\beta))}\)

[mario5046]

jest jakaś łatwiejsza metoda (nie umiem stosować wzoru de moivera) to są dopiero moje początki z liczbami zespolonymi-- 12 paź 2011, o 19:24 --dobra już sobie poradziłem:)

[adambak]

no z tym te Moivrem faktycznie przesadziłem.. szybciutko idzie z rozszerzenia ułamka o sprzężenie mianownika przy tych potęgach.. czyli na poczatku robisz porządek w liczniku, doprowadzając do postaci z \(\displaystyle{ i}\), a potem na przykład:

\(\displaystyle{ z= \frac{(3-2i)(5+i)}{1-3i}= \frac{(3-2i)(5+i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)}}\)

uprość i sam się przekonaj jaki efekt.. po tym triku w mianowniku jest już liczba rzeczywista, a więc dzielimy normalnie i mamy liczbę zespoloną w postaci z \(\displaystyle{ i}\), tak więc też jej część rzeczywistą i urojoną, to wszystko..

[mario5046]

dziękuję za pomoc