Obliczyć sumę i iloczyn pierwiastków zespolonych

[adambak]

Niech \(\displaystyle{ z _{0},z _{1},...,z _{n-1}}\) to wszystkie zespolone pierwiastki z jedności stopnia \(\displaystyle{ n}\). Oblicz \(\displaystyle{ z _{0} + z _{0} + ... + z _{n-1}}\) oraz \(\displaystyle{ z _{0} \cdot z _{0} \cdot ... z _{n-1}}\).

Jakaś wskazówka?

[aalmond]

Przedstaw je na płaszczyźnie Gaussa.

[adambak]

właśnie nie bardzo wiem jak to zrobić.. co mi daje to że są one pierwiastkami zespolonymi z jedności? jaką informację? czy coś o module? widzę że jak będzie ich parzysta ilość to będą parami posprzężane, ale nie wiem czy mi to coś daje i jak to zapisać..

[fon_nojman]

Iloczyn:

Dla naszych \(\displaystyle{ z_i}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{z_i}=\overline{z}.}\) Ponadto \(\displaystyle{ \frac{1}{z_i}}\) tez jest pierwiastkiem z jedynki. Czyli mamy

\(\displaystyle{ z_0 \ldots z_{n-1}=\frac{1}{z_0}\ldots \frac{1}{z_{n-1}}=\overline{z}_0 \ldots \overline{z}_{n-1}.}\)

Iloczyn jest liczba rzeczywistą.

[Qń]

Można też skorzystać ze wzorów Viete'a.

Q.

[adambak]

Qń, a jak to będzie wyglądało z Viete'a? Szczerze to Viete mi się tylko kojarzy z prostymi przykładami z trójmianem kwadratowym i nie wiem jak zastosować w takich przypadkach, a ten pomysł mi się podoba..

[Qń]

Nasz wielomian to \(\displaystyle{ z^n-1}\).

Q.

[adambak]

jeej.. że też tutaj nie zajrzałem, ale super, kto by pomyślał że pod tym hasłem tyle nowości.. dzięki!