Znajdź wszystkie liczby zespolone dla których

[adambak]

Niech \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\). Znajdź wszystkie liczby zespolone dla których:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} z^{k}=1}\)

nie wiem jak ugryźć..

[fon_nojman]

Wzór na sumę częściową ciągu geometrycznego.

[adambak]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} z^{k}=1}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} z^{k}=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{z(z^n-1)}{z-1} =0}\)

\(\displaystyle{ z \neq 1}\)

\(\displaystyle{ z=0 \vee z^n=1}\)

\(\displaystyle{ z=0 \vee \left| z\right|^n(\cos n\alpha + i \sin n \alpha)=1}\)

no i własnie nie wiem.. czy ja już je znalazłem, czy coś jeszcze muszę zrobić?

[fon_nojman]

Nic więcej. To będą po prostu pierwiastki z jedynki. Tylko w pierwszym przejściu musisz założyć, że \(\displaystyle{ z \neq 0,}\) jest problem co to \(\displaystyle{ 0^0}\)?

[adambak]

aha, czyli pozostaje tylko:

\(\displaystyle{ \left| z\right|^n(\cos n\alpha + i \sin n \alpha)=1}\) ?

i naprawdę nie da się nic już z tym zrobić? w sensie, różnych pierwiastków jest aż \(\displaystyle{ n}\) i nie dałoby się wyprowadzić tego na każdy \(\displaystyle{ k-ty}\) (gdzie \(\displaystyle{ k=1,2,...,n}\)) pierwiastek z osobna? wybacz moją niepewność, ale strasznie mnie dziwi czy taka postać jest już jednoznaczna..

[fon_nojman]

Dokładnie to \(\displaystyle{ z}\) jest postaci \(\displaystyle{ \cos\left(\tfrac{2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\tfrac{2k\pi}{n}\right) = e^\frac{2\pi i k}{n},\ k = 0, 1, \dots, n-1.}\)

[adambak]

super! o to mi chodziło a czy mógłbyś mi jeszcze wytłumaczyć jedno? bo o ile postaci z \(\displaystyle{ e}\) jeszcze nie miałem, o tyle zrozumienie tego:

\(\displaystyle{ z=cos\left(\tfrac{2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\tfrac{2k\pi}{n}\right)}\)

jest dla mnie bardzo ważne.. jak dojść do tej postaci trygonometrycznej z tego co ja napisałem? widzę, że moduł każdego pierwiastka zespolonego z jedynki jest równy jeden? być może to głupie, ale jakoś tego nie czuję.. no jeszcze sprawa argumentów każdej z tych liczb zespolonych..

[fon_nojman]

Użyj wzoru na pierwiastkowanie liczb zespolonych.