Oblicz... Jak zacząć?

jozefkarton · Post autor: **jozefkarton** » 11 paź 2011, o 14:28

Mam obliczyć:
\(\displaystyle{ \sqrt[5]{1 + i}}\)
i absolutnie nie mam pojęcia jak zacząć. Proszę o pomoc.

rubik1990 · Post autor: **rubik1990** » 11 paź 2011, o 14:33

Zacznij od zapisania liczby zespolonej pod pierwiastkiem w postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ z=\left| z\right| (\cos \phi + i\sin \phi)}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi}\) to argument główny liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\)
Potem skorzystaj ze wzoru de Moivre'a

jozefkarton · Post autor: **jozefkarton** » 11 paź 2011, o 14:39

Dzięki, działa. A kontynuując zadanie, inny podpunkt, gdzie ta metoda już nie działa. Mogę prosić o pomoc?
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{ \left( 1 + i \cdot \sqrt{3} \right) \cdot (-1 + i)}}\)

adambak · Post autor: **adambak** » 11 paź 2011, o 17:02

tutaj też zadziała.. najpierw przedstaw obie liczby w postaci trygonometrycznej.. potem każdą z nich zapisujesz ze wzoru de Moivre'a (potęga to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) ), a na koniec mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej i korzystasz z tego, że \(\displaystyle{ arg(z \cdot w)=arg(z)+arg(w)}\), gdzie \(\displaystyle{ z,w \in \mathbb{C}}\)..