Witam,
mam problem z równaniami w dziedzinie zespolonej:
1. \(\displaystyle{ z^8+15z^4-16=0}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ t=z^4}\), wyliczam \(\displaystyle{ t_{1}=1}\) i \(\displaystyle{ t_{2}=-1}\), z czego mam \(\displaystyle{ z^4=1}\) i \(\displaystyle{ z^4=-1}\). Następnie \(\displaystyle{ |z|=1}\) i \(\displaystyle{ z^4=i^2 \Rightarrow z^2=i}\)
Więc skąd mam wziąć te 8 rozwiązań? Zawsze jest tyle rozwiązań, ile wynosi wykładnik najwyższej potęgi? Wolfram Alpha twierdzi, że tak...
2. \(\displaystyle{ z^4+z^2+1=0}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ t=z^2}\), wyliczam \(\displaystyle{ z^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}\) i \(\displaystyle{ z^2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}\), obustronnie pierwiastkuję (na z nakładam moduł?). Jest jakiś szybszy sposób na dalsze liczenie, niż układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2=\frac{1}{2}\\2xy=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}}\) i żmudne liczenie poprzez podstawianie?
Pytanie bonusowe: dlaczego Wolfram Alpha podaje tylko jeden pierwiastek wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{3+4i}}\) zamiast \(\displaystyle{ z=\{2+i, -2-i\}}\)? Czy jest to "wyrocznia absolutna" przy sprawdzaniu poprawności obliczeń?