równanie ma pierwiastki zespolone na płaszczyźnie zespolonej
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 6 paź 2011, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
równanie ma pierwiastki zespolone na płaszczyźnie zespolonej
Mam problem z następującym zadaniem:
Równanie \(\displaystyle{ (z+i)^{4}=8 \cdot (1+i)^{2}}\) ma pierwiastki zespolone położone na płaszczyźnie zespolonej... (gdzie?)
Czy mógłby mi ktoś rozwiązać ten przykład lub chociaż podpowiedzieć jak się za niego zabrać? Próbowałem wszystko wymnożyć, ale później ciężko jest sprowadzić do postaci iloczynowej (o ile w ogóle tak się powinno zacząć rozwiązywanie tego).
Po wymnożeniu wyszło mi:
\(\displaystyle{ z^{4}+4 \cdot z ^{3} +6 \cdot z ^{2}+4 \cdot z-6-16 \cdot i=0}\)
Równanie \(\displaystyle{ (z+i)^{4}=8 \cdot (1+i)^{2}}\) ma pierwiastki zespolone położone na płaszczyźnie zespolonej... (gdzie?)
Czy mógłby mi ktoś rozwiązać ten przykład lub chociaż podpowiedzieć jak się za niego zabrać? Próbowałem wszystko wymnożyć, ale później ciężko jest sprowadzić do postaci iloczynowej (o ile w ogóle tak się powinno zacząć rozwiązywanie tego).
Po wymnożeniu wyszło mi:
\(\displaystyle{ z^{4}+4 \cdot z ^{3} +6 \cdot z ^{2}+4 \cdot z-6-16 \cdot i=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 6 paź 2011, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
równanie ma pierwiastki zespolone na płaszczyźnie zespolonej
Dzięki za podpowiedź.
Wychodzi tak:
\(\displaystyle{ [(z+i) ^{2} - 2 \cdot \sqrt{2}\cdot (1+i)] \cdot [(z+i) ^{2} + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot (1+i)]=0}\)
Co z tym zrobić dalej (?), bo nic mi nie przychodzi do głowy...
Wychodzi tak:
\(\displaystyle{ [(z+i) ^{2} - 2 \cdot \sqrt{2}\cdot (1+i)] \cdot [(z+i) ^{2} + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot (1+i)]=0}\)
Co z tym zrobić dalej (?), bo nic mi nie przychodzi do głowy...
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
równanie ma pierwiastki zespolone na płaszczyźnie zespolonej
Dalej masz do rozwiązania dwa równania kwadratowe.
Możesz też zauważyć, że
\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}(1+i)=\left(2\left(\cos\frac{\pi}8+i\sin\frac{\pi}8\right)\right)^2}\)
i znowu zastosować wzór na różnicę kwadratów.
Możesz też zauważyć, że
\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}(1+i)=\left(2\left(\cos\frac{\pi}8+i\sin\frac{\pi}8\right)\right)^2}\)
i znowu zastosować wzór na różnicę kwadratów.
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 6 paź 2011, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
równanie ma pierwiastki zespolone na płaszczyźnie zespolonej
Nie za bardzo da się je rozwiązać, bo delta wychodzi mi z pierwiastkiem.norwimaj pisze:Dalej masz do rozwiązania dwa równania kwadratowe.
Mógłbyś wyjaśnić w jaki sposób to przekształciłeś? Bo to byłaby chyba najlepsza droga rozwiązanianorwimaj pisze: Możesz też zauważyć, że
\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}(1+i)=\left(2\left(\cos\frac{\pi}8+i\sin\frac{\pi}8\right)\right)^2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
równanie ma pierwiastki zespolone na płaszczyźnie zespolonej
Nie rozumiem problemu.ciekawskistudent pisze: Nie za bardzo da się je rozwiązać, bo delta wychodzi mi z pierwiastkiem.
Wzór de Moivre'a.ciekawskistudent pisze: Mógłbyś wyjaśnić w jaki sposób to przekształciłeś? Bo to byłaby chyba najlepsza droga rozwiązania
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 6 paź 2011, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
równanie ma pierwiastki zespolone na płaszczyźnie zespolonej
po wymnożeniu pierwszego nawiasu kwadratowego:
\(\displaystyle{ [(z+i) ^{2} - 2 \cdot \sqrt{2}\cdot (1+i)]}\) wychodzi mi:
\(\displaystyle{ z ^{2}+2 \cdot z \cdot i-1-2 \cdot \sqrt{2} -2 \cdot \sqrt{2} \cdot i}\)
z tego delta wychodzi:
\(\displaystyle{ \Delta = -16+4+8 \cdot \sqrt{2}+8 \cdot \sqrt{2} \cdot i}\)
ostatecznie:
\(\displaystyle{ \Delta = -12+8 \cdot \sqrt{2} \cdot (1+i)}\)
\(\displaystyle{ [(z+i) ^{2} - 2 \cdot \sqrt{2}\cdot (1+i)]}\) wychodzi mi:
\(\displaystyle{ z ^{2}+2 \cdot z \cdot i-1-2 \cdot \sqrt{2} -2 \cdot \sqrt{2} \cdot i}\)
z tego delta wychodzi:
\(\displaystyle{ \Delta = -16+4+8 \cdot \sqrt{2}+8 \cdot \sqrt{2} \cdot i}\)
ostatecznie:
\(\displaystyle{ \Delta = -12+8 \cdot \sqrt{2} \cdot (1+i)}\)
jak policzyć teraz \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) ??? Proszę o wyjaśnienie jeszcze tego.norwimaj pisze:Nie rozumiem problemu.ciekawskistudent pisze: Nie za bardzo da się je rozwiązać, bo delta wychodzi mi z pierwiastkiem.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
równanie ma pierwiastki zespolone na płaszczyźnie zespolonej
Standardowo robi się to tak: szukamy \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R}}\) takich że
\(\displaystyle{ (a+bi)^2=-12+8 \cdot \sqrt{2} \cdot (1+i)}\).
Natychmiast dostajemy stąd równania
\(\displaystyle{ a^2-b^2=-12+8\sqrt{2}}\),
\(\displaystyle{ 2ab=8\sqrt{2}}\).
Przyrównując wartości bezwzględne obu stron dostajemy jeszcze trzecie równanie
\(\displaystyle{ a^2+b^2=\sqrt{(-12+8\sqrt{2})^2+(8\sqrt{2})^2}}\).
Dodając i odejmując pierwsze i trzecie równanie stronami wyliczamy \(\displaystyle{ a^2}\) i \(\displaystyle{ b^2}\). W przypadku tego równania rachunki nie są przyjemne, ale na pewno da się w ten sposób otrzymać jakiś wynik. Sam bym w tym przykładzie skorzystał z de Moivre'a.
\(\displaystyle{ (a+bi)^2=-12+8 \cdot \sqrt{2} \cdot (1+i)}\).
Natychmiast dostajemy stąd równania
\(\displaystyle{ a^2-b^2=-12+8\sqrt{2}}\),
\(\displaystyle{ 2ab=8\sqrt{2}}\).
Przyrównując wartości bezwzględne obu stron dostajemy jeszcze trzecie równanie
\(\displaystyle{ a^2+b^2=\sqrt{(-12+8\sqrt{2})^2+(8\sqrt{2})^2}}\).
Dodając i odejmując pierwsze i trzecie równanie stronami wyliczamy \(\displaystyle{ a^2}\) i \(\displaystyle{ b^2}\). W przypadku tego równania rachunki nie są przyjemne, ale na pewno da się w ten sposób otrzymać jakiś wynik. Sam bym w tym przykładzie skorzystał z de Moivre'a.
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 6 paź 2011, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
równanie ma pierwiastki zespolone na płaszczyźnie zespolonej
Chciałbym poprosić Cię o ostatnią rzecz. Znam wzór de moivre'a. Mógłbyś napisać, w jaki sposób przekształcasz takie wyrażenie za pomocą moivre'a, do postaci z cos i sin?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
równanie ma pierwiastki zespolone na płaszczyźnie zespolonej
Najpierw z liczby wyciągam jej wartość bezwzględną:
\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}(1+i)=4\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)}\).
Potem trzeba znaleźć takie \(\displaystyle{ \varphi}\), że \(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}}\), \(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}}\) w tym wypadku. Można się wspomóc rysunkiem. Wystarczy znaleźć kąt pomiędzy dodatnią półosią rzeczywistą, a półprostą łączącą środek układu z daną liczbą. Wtedy otrzymujemy postać trygonometryczną:
\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}(1+i)=4\cdot\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right)}\)
i można już łatwo skorzystać z de Moivre'a.
\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}(1+i)=4\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)}\).
Potem trzeba znaleźć takie \(\displaystyle{ \varphi}\), że \(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}}\), \(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}}\) w tym wypadku. Można się wspomóc rysunkiem. Wystarczy znaleźć kąt pomiędzy dodatnią półosią rzeczywistą, a półprostą łączącą środek układu z daną liczbą. Wtedy otrzymujemy postać trygonometryczną:
\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}(1+i)=4\cdot\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right)}\)
i można już łatwo skorzystać z de Moivre'a.
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 6 paź 2011, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy