równanie ma pierwiastki zespolone na płaszczyźnie zespolonej

[ciekawskistudent]

Mam problem z następującym zadaniem:

Równanie \(\displaystyle{ (z+i)^{4}=8 \cdot (1+i)^{2}}\) ma pierwiastki zespolone położone na płaszczyźnie zespolonej... (gdzie?)

Czy mógłby mi ktoś rozwiązać ten przykład lub chociaż podpowiedzieć jak się za niego zabrać? Próbowałem wszystko wymnożyć, ale później ciężko jest sprowadzić do postaci iloczynowej (o ile w ogóle tak się powinno zacząć rozwiązywanie tego).
Po wymnożeniu wyszło mi:
\(\displaystyle{ z^{4}+4 \cdot z ^{3} +6 \cdot z ^{2}+4 \cdot z-6-16 \cdot i=0}\)

[norwimaj]

Przenieś wszystko na jedną stronę i zastosuj wzór na różnicę kwadratów.

[ciekawskistudent]

Dzięki za podpowiedź.

Wychodzi tak:
\(\displaystyle{ [(z+i) ^{2} - 2 \cdot \sqrt{2}\cdot (1+i)] \cdot [(z+i) ^{2} + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot (1+i)]=0}\)
Co z tym zrobić dalej (?), bo nic mi nie przychodzi do głowy...

[norwimaj]

Dalej masz do rozwiązania dwa równania kwadratowe.

Możesz też zauważyć, że
\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}(1+i)=\left(2\left(\cos\frac{\pi}8+i\sin\frac{\pi}8\right)\right)^2}\)
i znowu zastosować wzór na różnicę kwadratów.

[ciekawskistudent]

Dalej masz do rozwiązania dwa równania kwadratowe.

Nie za bardzo da się je rozwiązać, bo delta wychodzi mi z pierwiastkiem.

Możesz też zauważyć, że
\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}(1+i)=\left(2\left(\cos\frac{\pi}8+i\sin\frac{\pi}8\right)\right)^2}\)

Mógłbyś wyjaśnić w jaki sposób to przekształciłeś? Bo to byłaby chyba najlepsza droga rozwiązania

[norwimaj]

Nie za bardzo da się je rozwiązać, bo delta wychodzi mi z pierwiastkiem.

Nie rozumiem problemu.

Mógłbyś wyjaśnić w jaki sposób to przekształciłeś? Bo to byłaby chyba najlepsza droga rozwiązania

Wzór de Moivre'a.

[ciekawskistudent]

po wymnożeniu pierwszego nawiasu kwadratowego:
\(\displaystyle{ [(z+i) ^{2} - 2 \cdot \sqrt{2}\cdot (1+i)]}\) wychodzi mi:

\(\displaystyle{ z ^{2}+2 \cdot z \cdot i-1-2 \cdot \sqrt{2} -2 \cdot \sqrt{2} \cdot i}\)

z tego delta wychodzi:
\(\displaystyle{ \Delta = -16+4+8 \cdot \sqrt{2}+8 \cdot \sqrt{2} \cdot i}\)


ostatecznie:
\(\displaystyle{ \Delta = -12+8 \cdot \sqrt{2} \cdot (1+i)}\)

Nie za bardzo da się je rozwiązać, bo delta wychodzi mi z pierwiastkiem.

Nie rozumiem problemu.

jak policzyć teraz \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) ??? Proszę o wyjaśnienie jeszcze tego.

[norwimaj]

Standardowo robi się to tak: szukamy \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R}}\) takich że

\(\displaystyle{ (a+bi)^2=-12+8 \cdot \sqrt{2} \cdot (1+i)}\).

Natychmiast dostajemy stąd równania
\(\displaystyle{ a^2-b^2=-12+8\sqrt{2}}\),
\(\displaystyle{ 2ab=8\sqrt{2}}\).

Przyrównując wartości bezwzględne obu stron dostajemy jeszcze trzecie równanie
\(\displaystyle{ a^2+b^2=\sqrt{(-12+8\sqrt{2})^2+(8\sqrt{2})^2}}\).

Dodając i odejmując pierwsze i trzecie równanie stronami wyliczamy \(\displaystyle{ a^2}\) i \(\displaystyle{ b^2}\). W przypadku tego równania rachunki nie są przyjemne, ale na pewno da się w ten sposób otrzymać jakiś wynik. Sam bym w tym przykładzie skorzystał z de Moivre'a.

[ciekawskistudent]

Chciałbym poprosić Cię o ostatnią rzecz. Znam wzór de moivre'a. Mógłbyś napisać, w jaki sposób przekształcasz takie wyrażenie za pomocą moivre'a, do postaci z cos i sin?

[norwimaj]

Najpierw z liczby wyciągam jej wartość bezwzględną:
\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}(1+i)=4\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)}\).

Potem trzeba znaleźć takie \(\displaystyle{ \varphi}\), że \(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}}\), \(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}}\) w tym wypadku. Można się wspomóc rysunkiem. Wystarczy znaleźć kąt pomiędzy dodatnią półosią rzeczywistą, a półprostą łączącą środek układu z daną liczbą. Wtedy otrzymujemy postać trygonometryczną:
\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}(1+i)=4\cdot\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right)}\)

i można już łatwo skorzystać z de Moivre'a.

[ciekawskistudent]

dzięki wielkie za wszystko