Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \text{im} \left( \frac{z-1}{z+1} \right) =0 \Leftrightarrow \text{im}z=0}\)
Dowód, część urojona.
-
ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Dowód, część urojona.
Jeżeli \(\displaystyle{ \text{Im} \left( \frac{z-1}{z+1} \right) =0}\), to istnieje takie \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\), takie, że \(\displaystyle{ \frac{z-1}{z+1}=a}\). Wyznacz z tego \(\displaystyle{ z}\) i pokaż, że jest ono rzeczywiste.
Dowód, część urojona.
Dzięki
Nie wiem czy dobrze rozumiem. Jeżeli \(\displaystyle{ \text{im} \left( \frac{z-1}{z+1} \right) = 0}\) to \(\displaystyle{ \frac{z-1}{z+1}}\) jest taką liczbą zespoloną, że \(\displaystyle{ \frac{z-1}{z+1}=x + 0i}\).
Dopiero rozpoczynam temat liczb zespolonych i jeszcze jestem na bardzo słabym poziomie,
więc proszę o wyrozumiałość.
@Qń - stosując się do wskazówki wychodzi \(\displaystyle{ \text{im} \left( \frac{a + bi -1}{a + bi +1} \right)}\). Co mogę dalej zrobić ?
@Ares41 - Jeśli wykaże, że liczba \(\displaystyle{ z}\) jest rzeczywista, to będzie oznaczało, że nie ma części urojonej i zakończe dowód, tak ?
Dzięki za pomoc.
Nie wiem czy dobrze rozumiem. Jeżeli \(\displaystyle{ \text{im} \left( \frac{z-1}{z+1} \right) = 0}\) to \(\displaystyle{ \frac{z-1}{z+1}}\) jest taką liczbą zespoloną, że \(\displaystyle{ \frac{z-1}{z+1}=x + 0i}\).
Dopiero rozpoczynam temat liczb zespolonych i jeszcze jestem na bardzo słabym poziomie,
więc proszę o wyrozumiałość.
@Qń - stosując się do wskazówki wychodzi \(\displaystyle{ \text{im} \left( \frac{a + bi -1}{a + bi +1} \right)}\). Co mogę dalej zrobić ?
@Ares41 - Jeśli wykaże, że liczba \(\displaystyle{ z}\) jest rzeczywista, to będzie oznaczało, że nie ma części urojonej i zakończe dowód, tak ?
Dzięki za pomoc.
Ostatnio zmieniony 5 paź 2011, o 22:48 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.
Powód: Skalowanie nawiasów.
-
ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Dowód, część urojona.
To w zasadzie będzie dowód w jedną stronę: z lewej na prawą.Rastook pisze:@Ares41 - Jeśli wykaże, że liczba z jest rzeczywista, to będzie oznaczało, że nie ma części urojonej i zakończe dowód, tak ?
Dla pełnego dowodu musisz jeszcze pokazać, że z tego, że \(\displaystyle{ z}\) jest rzeczywiste wynika, że \(\displaystyle{ \frac{z-1}{z+1}}\) jest również rzeczywiste - to akurat jest proste do pokazania - wystarczy skorzystać z wykonalności działań w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)
-
Marcinek665
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Dowód, część urojona.
Fajnie, gdyby \(\displaystyle{ z \neq -1}\), czyli \(\displaystyle{ a \neq -1 \vee b \neq 0}\).
No to przekształćmy to, co wiemy:
\(\displaystyle{ \text{Im} \left ( \frac{z-1}{z+1} \right )=\text{Im} \left ( \frac{a+bi-1}{a+bi+1} \right )= \text{Im} \left ( \frac{(a+bi-1)(a+1-bi)}{(a+1+bi)(a+1-bi)} \right )= \text{Im} \left ( \frac{a^2 + b^2 + 2bi - 1}{a^2 + 2a + 1 + b^2} \right )= \frac{2b}{a^2 + 2a + 1 + b^2} = 0}\)
\(\displaystyle{ \text{Im} z = \text{Im} (a+bi) = b = 0}\)
Trzeba w takim razie pokazać, że równoważne są \(\displaystyle{ 2}\) równania:
\(\displaystyle{ b=0}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{2b}{a^2 + 2a + 1 + b^2} = 0}\)
No to przekształćmy to, co wiemy:
\(\displaystyle{ \text{Im} \left ( \frac{z-1}{z+1} \right )=\text{Im} \left ( \frac{a+bi-1}{a+bi+1} \right )= \text{Im} \left ( \frac{(a+bi-1)(a+1-bi)}{(a+1+bi)(a+1-bi)} \right )= \text{Im} \left ( \frac{a^2 + b^2 + 2bi - 1}{a^2 + 2a + 1 + b^2} \right )= \frac{2b}{a^2 + 2a + 1 + b^2} = 0}\)
\(\displaystyle{ \text{Im} z = \text{Im} (a+bi) = b = 0}\)
Trzeba w takim razie pokazać, że równoważne są \(\displaystyle{ 2}\) równania:
\(\displaystyle{ b=0}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{2b}{a^2 + 2a + 1 + b^2} = 0}\)