Potęgowanie liczby zespolonej

[alohomora3]

Witam serdecznie. Czy mógłby ktoś sprawdzić, czy robię to zadanie dobrze?

\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2}j \right) ^{247}}\)

Najpierw obliczam moduł:

\(\displaystyle{ \left|z\right| = \sqrt{ \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) ^{2} + \left( \frac{ -\sqrt{2} }{2} \right) ^{2} } = 1}\)

Następnie obliczam sinus oraz cosinus

\(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{1} = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\),

sinus wychodzi \(\displaystyle{ \frac{- \sqrt{2} }{2}}\)

Sprawdzam w tablicach, wychodzi na to, że to kąt 45 stopni, czyli \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\)

Cosinus jest dodatni, sinus ujemny, więc wiem, że to ćwiartka IV, czyli \(\displaystyle{ 2 \pi - \frac{ \pi }{4} = \frac{8 \pi }{4} - \frac{ \pi }{4} = \frac{7 \pi }{4}}\)

Postać trygonometryczna:

\(\displaystyle{ z ^{247} = 1 ^{247} \left( \cos \frac{7 \pi }{4} + j \sin \frac{7 \pi }{4} \right) ^{247} \\
z ^{247} = \left( \cos \frac{7 \pi }{4} + j \sin \frac{7 \pi }{4} \right) ^{247} \\
z ^{247} = \left( \cos \frac{1729 \pi }{4} + j \sin \frac{1729 \pi }{4} \right) \\
z ^{247} = \left( \cos \left( 432 \pi + \frac{ \pi }{4} \right) + j\sin \left( 432 \pi + \frac{ \pi }{4} \right) \right)}\)

Czy mogę teraz skreślić \(\displaystyle{ 432 \pi}\)? Wydaje mi się, że tak, więc to robię.

\(\displaystyle{ z ^{247} = \left( \cos \frac{ \pi }{4} + j\sin \frac{ \pi }{4} \right) \\
z ^{247} = \left( \cos 4 5 ^{\circ} + j \sin 4 5 ^{\circ} \right) \\
z ^{247} = \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2}j}\)

Czy to ma jakikolwiek sens? Dopiero rozpoczynam swą przygodę z liczbami zespolonymi. Z góry dziękuję i pozdrawiam.

[Lorek]

Czy to ma jakikolwiek sens?

A dlaczego by nie? Swoją drogą to zdaje się jest jeden z pierwiastków z \(\displaystyle{ j}\) lub \(\displaystyle{ -j}\), więc można by to trochę inaczej też policzyć, ale mniejsza z tym