Witam,
mam problem z kilkoma przykładami z liczb zespolonych, chodzi o wskazanie na płaszczyźnie liczb spełniających warunki:
1. \(\displaystyle{ \mathfrak{Re}}\)\(\displaystyle{ \frac{1-z}{1+z} = 1}\)
Podstawiłem \(\displaystyle{ \frac{1-z}{1+z} = 1+bi}\), przemnożyłem przez mianownik, wymnożyłem nawiasy, poskracałem i doszedłem do postaci \(\displaystyle{ (3a-b^{2})+(3b+ab)i=0}\) i nie mam pojęcia, co z tym dalej zrobić, ani jak to oznaczyć na płaszczyźnie...
2. \(\displaystyle{ |z+1+2i| \leqslant 2 \ oraz \ |z+1| \leqslant 1}\)
Podstawiłem \(\displaystyle{ z=a+bi}\) i policzyłem lewą stronę(moduł, skracanie): \(\displaystyle{ a^2+2a+b^2-4b+1 \leqslant 0}\) oraz prawą: \(\displaystyle{ a^2+2a+b^2 \leqslant 0}\). Problem jak wyżej - co z tym dalej?
3. \(\displaystyle{ |z-2i|=|z+1|}\)
Niby proste, ale znowu dochodzę (poprzez liczenie modułu i skracanie) do \(\displaystyle{ 2a-4b+3=0}\) bez pomysłu na dalsze działania.
Z góry bardzo serdecznie dziękuję za pomoc, bo jestem tym już maksymalnie sfrustrowany. Z wykładu praktycznie nic się nie dowiedziałem, a książki też niewiele mi pomogły, chociaż siedziałem nad nimi już parę godzin...
Zbiory liczb zespolonych na płaszczyźnie
-
Zbychu91
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 1 kwie 2011, o 13:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 3 razy
Zbiory liczb zespolonych na płaszczyźnie
Tak na szybko
ad2.
To wyrażenie \(\displaystyle{ a^2+2a+b^2-4b+1 \leqslant 0}\) przekształć do postaci \(\displaystyle{ (a+1)^2+(b-2)^2 \leqslant 4}\), a drugie do postaci \(\displaystyle{ (a+1)+b^2 \leqslant 1}\), a następnie narysuj.
ad3. Już rozwiązałeś. Odpowiedzią jest zbiór punktów spełniających tą równość.
ad2.
To wyrażenie \(\displaystyle{ a^2+2a+b^2-4b+1 \leqslant 0}\) przekształć do postaci \(\displaystyle{ (a+1)^2+(b-2)^2 \leqslant 4}\), a drugie do postaci \(\displaystyle{ (a+1)+b^2 \leqslant 1}\), a następnie narysuj.
ad3. Już rozwiązałeś. Odpowiedzią jest zbiór punktów spełniających tą równość.
-
lays
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 5 paź 2011, o 13:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 21 razy
Zbiory liczb zespolonych na płaszczyźnie
Wielkie dzięki Zbychu91!
Jednak dalej nie mam pojęcia, co z pierwszym przykładem...
Jednak dalej nie mam pojęcia, co z pierwszym przykładem...
Zbiory liczb zespolonych na płaszczyźnie
Zadanie 1
\(\displaystyle{ a ^{2} + 2a + b ^{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ a ^{2} + 2a + 1 - 1 + b ^{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ \left( a + 1\right) ^{2} + b ^{2} = 1 ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[ a - \left( - 1\right) \right] ^{2} + \left( b - 0\right) ^{2} = 1 ^{2}}\)
Jest to równanie okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ z _{0} = - 1 + 0i = - 1}\) oraz promieniu R = 1.
Nie sprawdzałem czy równość \(\displaystyle{ a ^{2} + 2a + b ^{2} = 0}\) jest prawdziwa.
Zadanie 2
\(\displaystyle{ \begin{cases} |z - z _{01} | \le R _{1} \\ |z- z _{02}| \le R _{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} |z+1+2i| \le 2 \\ |z+1| \le 1 \end{cases}}\)
Mamy
\(\displaystyle{ z _{01} = - 1 - 2i \ \ \ oraz \ \ \ R _{1} = 2}\)
\(\displaystyle{ z _{02} = - 1 - 2i \ \ \ oraz \ \ \ R _{2} = 1}\)
Poszukiwaną figurą na płaszczyźnie zespolonej, w której znajdują się końce liczb zespolonych z, mających początek w punkcie 0 + 0i, jest wspólna część kół o środkach i promieniach odpowiednio \(\displaystyle{ z _{01} = - 1 - 2i, \ R _{1} = 2}\) oraz \(\displaystyle{ z _{02} = - 1 - 2i, \ R _{2} = 1}\).
Zadanie 3
\(\displaystyle{ |z - z _{01}| = |z - z _{02}|}\)
\(\displaystyle{ |z - 2i| = |z + 1|}\)
Mamy \(\displaystyle{ z _{01} = 2i}\) oraz \(\displaystyle{ z _{02} = - 1}\), zaznaczamy te dwa końce liczb \(\displaystyle{ z _{01}}\) i \(\displaystyle{ z _{02}}\), łączymy je odcinkiem, a następnie prowadzimy prostą symetralną do tego odcinka (czyli przez środek wsopomnianego odcinka, prostopadle do niego) i prosta ta jest rozwiązaniem zadania, a szukane liczby z mają swój koniec właśnie na tej prostej.
*************************************************
W przypadku
\(\displaystyle{ |z - z _{01}| \le |z - z _{02}|}\)
rozwiązaniem jest półpłaszczyzna ograniczona symetralną odcinka łączącego punkty \(\displaystyle{ z _{01}}\) i \(\displaystyle{ z _{02}}\), rozciągająca się w stronę punktu \(\displaystyle{ z _{01}}\), zaś w przypadku
\(\displaystyle{ |z - z _{01}| \ge |z - z _{02}|}\)
rozwiązaniem jest półpłaszczyzna ograniczona symetralną odcinka łączącego punkty \(\displaystyle{ z _{01}}\) i \(\displaystyle{ z _{02}}\), rozciągająca się w stronę punktu \(\displaystyle{ z _{02}}\).
Oczywiście w przypadku nieówności ostrych (<, >) rozwiązaniem jest półpłaszczyzna z wyłączeniem symetralnej (rysujemy w jej miejscu linię przerywaną).
Dość często używanie w zadaniu postaci \(\displaystyle{ z = a + ib}\) nie jest wygodne. Oczywiście ja tu wyszedłem z pewnymi gotowymi zależnościami, przedstawionymi w skryptach Politechniki Wrocławskiej, dostępnych też w księgarniach uczelnianych i ogólnych:
"Algebra liniowa 1 - definicje, twierdzenia, wzory"
oraz
"Algebra liniowa 1 - przykłady i zadania"
autorstwa Teresy Jurlewicz i Zbigniewa Skoczylasa (od kilkunastu lat obie książki mają kolor ciemnobrązowy okładek).
Polecam też analogiczne pozycje z:
- analizy matematycznej 1 (kolor ciemnoniebieski)
- analizy matematycznej 2 (kolor ciemnoczerwony),
- algebry liniowej 2 (kolor ciemnozielony),
- równań różniczkowych zwyczajnych (kolor ciemnofioletowy),
- analizy zespolonej (kolor jasnozielony),
- analizy wektorowej (kolor zielony),
- statystyki i prawdopodobieństwa (kolor biały ze wstawkami: złotą - definicje, twierdzenia, wzory, srebrną - przykłady i zadania).
(wszytko Oficyna Wydwanicza Politechniki Wrocławskiej)
Są też skrypty do fizyki: trzy z teorią i dwa z przykładami i zadaniami.
Zaletą skryptów z przykładami i zadaniami (wszystkich) jest to, że stosunek objetości części zawierającej przykłady z rozwiązaniami do objętości części zawierającej zadania do samodzielnego rozwiązania (z końcowymi odpowiedziami) ma się mniej więcej jak 5:1.
\(\displaystyle{ a ^{2} + 2a + b ^{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ a ^{2} + 2a + 1 - 1 + b ^{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ \left( a + 1\right) ^{2} + b ^{2} = 1 ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[ a - \left( - 1\right) \right] ^{2} + \left( b - 0\right) ^{2} = 1 ^{2}}\)
Jest to równanie okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ z _{0} = - 1 + 0i = - 1}\) oraz promieniu R = 1.
Nie sprawdzałem czy równość \(\displaystyle{ a ^{2} + 2a + b ^{2} = 0}\) jest prawdziwa.
Zadanie 2
\(\displaystyle{ \begin{cases} |z - z _{01} | \le R _{1} \\ |z- z _{02}| \le R _{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} |z+1+2i| \le 2 \\ |z+1| \le 1 \end{cases}}\)
Mamy
\(\displaystyle{ z _{01} = - 1 - 2i \ \ \ oraz \ \ \ R _{1} = 2}\)
\(\displaystyle{ z _{02} = - 1 - 2i \ \ \ oraz \ \ \ R _{2} = 1}\)
Poszukiwaną figurą na płaszczyźnie zespolonej, w której znajdują się końce liczb zespolonych z, mających początek w punkcie 0 + 0i, jest wspólna część kół o środkach i promieniach odpowiednio \(\displaystyle{ z _{01} = - 1 - 2i, \ R _{1} = 2}\) oraz \(\displaystyle{ z _{02} = - 1 - 2i, \ R _{2} = 1}\).
Zadanie 3
\(\displaystyle{ |z - z _{01}| = |z - z _{02}|}\)
\(\displaystyle{ |z - 2i| = |z + 1|}\)
Mamy \(\displaystyle{ z _{01} = 2i}\) oraz \(\displaystyle{ z _{02} = - 1}\), zaznaczamy te dwa końce liczb \(\displaystyle{ z _{01}}\) i \(\displaystyle{ z _{02}}\), łączymy je odcinkiem, a następnie prowadzimy prostą symetralną do tego odcinka (czyli przez środek wsopomnianego odcinka, prostopadle do niego) i prosta ta jest rozwiązaniem zadania, a szukane liczby z mają swój koniec właśnie na tej prostej.
*************************************************
W przypadku
\(\displaystyle{ |z - z _{01}| \le |z - z _{02}|}\)
rozwiązaniem jest półpłaszczyzna ograniczona symetralną odcinka łączącego punkty \(\displaystyle{ z _{01}}\) i \(\displaystyle{ z _{02}}\), rozciągająca się w stronę punktu \(\displaystyle{ z _{01}}\), zaś w przypadku
\(\displaystyle{ |z - z _{01}| \ge |z - z _{02}|}\)
rozwiązaniem jest półpłaszczyzna ograniczona symetralną odcinka łączącego punkty \(\displaystyle{ z _{01}}\) i \(\displaystyle{ z _{02}}\), rozciągająca się w stronę punktu \(\displaystyle{ z _{02}}\).
Oczywiście w przypadku nieówności ostrych (<, >) rozwiązaniem jest półpłaszczyzna z wyłączeniem symetralnej (rysujemy w jej miejscu linię przerywaną).
Dość często używanie w zadaniu postaci \(\displaystyle{ z = a + ib}\) nie jest wygodne. Oczywiście ja tu wyszedłem z pewnymi gotowymi zależnościami, przedstawionymi w skryptach Politechniki Wrocławskiej, dostępnych też w księgarniach uczelnianych i ogólnych:
"Algebra liniowa 1 - definicje, twierdzenia, wzory"
oraz
"Algebra liniowa 1 - przykłady i zadania"
autorstwa Teresy Jurlewicz i Zbigniewa Skoczylasa (od kilkunastu lat obie książki mają kolor ciemnobrązowy okładek).
Polecam też analogiczne pozycje z:
- analizy matematycznej 1 (kolor ciemnoniebieski)
- analizy matematycznej 2 (kolor ciemnoczerwony),
- algebry liniowej 2 (kolor ciemnozielony),
- równań różniczkowych zwyczajnych (kolor ciemnofioletowy),
- analizy zespolonej (kolor jasnozielony),
- analizy wektorowej (kolor zielony),
- statystyki i prawdopodobieństwa (kolor biały ze wstawkami: złotą - definicje, twierdzenia, wzory, srebrną - przykłady i zadania).
(wszytko Oficyna Wydwanicza Politechniki Wrocławskiej)
Są też skrypty do fizyki: trzy z teorią i dwa z przykładami i zadaniami.
Zaletą skryptów z przykładami i zadaniami (wszystkich) jest to, że stosunek objetości części zawierającej przykłady z rozwiązaniami do objętości części zawierającej zadania do samodzielnego rozwiązania (z końcowymi odpowiedziami) ma się mniej więcej jak 5:1.
-
lays
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 5 paź 2011, o 13:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 21 razy
Zbiory liczb zespolonych na płaszczyźnie
Coś mi się wydaje, że to nie dotyczy tego przykładu, tylko drugiego, który, nota bene, przepisałem z małym błędem. Miało być \(\displaystyle{ |z+1-2i| \leqslant 2}\) (minus zamiast drugiego plusa), a wychodzi z tego okrąg o środku \(\displaystyle{ O(-1,2i)}\) - głupi błąd, ale teraz już mam dobrze.joe74 pisze:Zadanie 1
\(\displaystyle{ a ^{2} + 2a + b ^{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ a ^{2} + 2a + 1 - 1 + b ^{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ \left( a + 1\right) ^{2} + b ^{2} = 1 ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[ a - \left( - 1\right) \right] ^{2} + \left( b - 0\right) ^{2} = 1 ^{2}}\)
Jest to równanie okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ z _{0} = - 1 + 0i = - 1}\) oraz promieniu R = 1.
Nie sprawdzałem czy równość \(\displaystyle{ a ^{2} + 2a + b ^{2} = 0}\) jest prawdziwa.
Jeśli natomiast nie pomyliłeś się w kolejności rozwiązań, wytłumacz pierwsze, bo za nic w świecie nie widzę związku między przykładem a Twoim rozwiązaniem.