Zbiory liczb zespolonych - równania

Taziff · Post autor: **Taziff** » 4 paź 2011, o 17:14

Witam,

pierwsze ćwiczenia na politechnice, liczby zespolone i o ile na zajęciach wiedziałem o co chodzi to zadań do domu nie kumam.

Polecenie mam takie: "W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równania"
\(\displaystyle{ z^{2} = 4\overline{z} \\
z ^{2} - 4z + 13 = 0 \\
\left( 1+j\right)z + 3\left( z - j\right) = 0}\)

Jak by ktoś mógł by wytłumaczyć o co w tym chodzi był bym wdzięczny.-- 4 paź 2011, o 17:26 --Edytował bym poprzedni post ale jest już zablokowany.

Sorki za zły latex ale nie ogarniam go jeszcze

Co do zadań to drugi przykład chyba zrobiłem poprawnie o to wyniki:

\(\displaystyle{ z_{1} = 2 - 3j\\
z_{2} = 2 +3j}\)

czy to jest poprawnie?

ares41 · Post autor: **ares41** » 4 paź 2011, o 17:30

Drugie Ok.

W trzecim zapisz \(\displaystyle{ z}\) jako \(\displaystyle{ a+bi}\) i porównaj części rzeczywiste i urojone.

Taziff · Post autor: **Taziff** » 4 paź 2011, o 17:44

w trzecim wyszło mi coś takiego:

\(\displaystyle{ 4x + xj - 3j = y + 4yj}\)

dalej nie mam pomysłu... muszę dojść do postaci

\(\displaystyle{ z = x + yj}\)

ares41 · Post autor: **ares41** » 4 paź 2011, o 18:02

Jest źle, przelicz jeszcze raz.

Taziff · Post autor: **Taziff** » 4 paź 2011, o 18:39

Znalazłem jeden błąd ale napiszę wszystko po kolei:

\(\displaystyle{ \left(1 + j \right)\left( x + yj\right) + 3 \left( x + yj - j\right) = 0\\
x + xj +yj + yj ^{2} + 3x + 3yj - 3j = 0\\
4x + xj + 4yj - 3j - y = 0\\
4x + xj - 3j = y - 4yj}\)

ares41 · Post autor: **ares41** » 4 paź 2011, o 18:43

Dokładnie o ten błąd chodziło.

Porównaj teraz części rzeczywiste i urojone liczb z obu stron równania.

Taziff · Post autor: **Taziff** » 4 paź 2011, o 18:46

chodzi o to? :

\(\displaystyle{ 4x + x - 3 = y - 4y}\)

bo akurat w tym przypadku nie wiem jak to ma być

ares41 · Post autor: **ares41** » 4 paź 2011, o 18:47

Nie, nie tak. Osobno części rzeczywiste, osobno urojone - dostaniesz układ równań.

Taziff · Post autor: **Taziff** » 4 paź 2011, o 18:51

Kurde nie kapuje jak... porównać do zera?

Może napisz jakiś przykład nie koniecznie na tym zadaniu żebym zrozumiał o co w ogóle chodzi.

ares41 · Post autor: **ares41** » 4 paź 2011, o 18:55

\(\displaystyle{ 4x + xj - 3j = y - 4yj}\)
Dla części rzeczywistej mamy:
\(\displaystyle{ 4x=y}\)
a dla urojonej:
\(\displaystyle{ x-3=-4y}\)
masz więc układ równań, z którego wyznaczasz \(\displaystyle{ x,y}\)

Taziff · Post autor: **Taziff** » 4 paź 2011, o 18:58

Aaa w ten sposób... no tak urojona przy j-- 4 paź 2011, o 21:33 --Wyszło mi:

\(\displaystyle{ 0 = 0}\)

dobrze?

A co z pierwszym zadaniem?

Crizz · Post autor: **Crizz** » 4 paź 2011, o 22:32

Taziff pisze: Wyszło mi:

\(\displaystyle{ 0 = 0}\)

dobrze?

Ale co "dobrze"? A gdzie to wyliczone \(\displaystyle{ x,y}\)?

Taziff · Post autor: **Taziff** » 4 paź 2011, o 22:39

\(\displaystyle{ x = \frac{3}{17}\\
y = \frac{12}{17}}\)

Crizz · Post autor: **Crizz** » 4 paź 2011, o 22:58

Teraz to co innego. Jest OK.

joe74 · Post autor: **joe74** » 5 paź 2011, o 00:28

Zadanie 1

Najwygodniejsza będzie postać wykładnicza:

\(\displaystyle{ z = r \cdot e ^{i \varphi}}\)

\(\displaystyle{ r ^{2} \cdot e ^{i \cdot \left( 2 \varphi - k \cdot 2 \pi\right) } = 4 \cdot r \cdot e ^{\ - \ i \varphi}}\)

\(\displaystyle{ r ^{2} = 4 \cdot r \ \ \ \ oraz \ \ \ \ 2 \varphi - k \cdot 2 \pi = \ - \varphi}\)

\(\displaystyle{ r _{1} = 0 \ \ \ lub \ \ \ r _{2} = 4 \ \ \ \Leftarrow \ \ \ \ r ^{2} - 4 \cdot r = 0}\)

\(\displaystyle{ 3 \varphi = k \cdot 2 \pi \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \varphi = k \cdot \frac{2}{3} \pi}\)

***********************************
Kończę po 30 nieudanych próbach otworzenia jakiegokolwiek tematu na https://www.matematyka.pl

***********************************
gdzie k = {0; 1; 2}, więc rozwiązania są trzy:

\(\displaystyle{ z _{0} = 4 \cdot \left( \cos 0 + i \cdot \sin 0\right) = 4}\)

\(\displaystyle{ z _{1} = 4 \cdot \left( \cos \frac{2 \pi }{3} + i \cdot \sin \frac{2 \pi }{3}\right) = 4 \cdot \left( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}\right) = \ - 2 + 2 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ z _{2} = 4 \cdot \left( \cos \frac{4 \pi }{3} + i \cdot \sin \frac{4 \pi }{3}\right) = 4 \cdot \left( - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}\right) = \ - 2 - 2 \sqrt{3}}\)

Oczywiście pominałem rozwiązanie trywialne z = 0, które też spełnia wyjściowe równanie

Zadanie 2

\(\displaystyle{ \left[ z ^{2} - 4z + 4\right] + 9 = 0}\)

\(\displaystyle{ \left[ z - 2\right] ^{2} - \left( 3i\right) ^{2} = 0}\)

\(\displaystyle{ \left( z - 2 + 3i\right) \cdot \left(z - 2 - 3i\right) = 0}\)

\(\displaystyle{ z _{1} = 2 - 3i \ \ \ \ \ z _{2} = 2 + 3i}\)

Zadanie 3

\(\displaystyle{ \left( 1 + i\right) \cdot z + 3 \cdot z - 3 \cdot i = 0}\)

\(\displaystyle{ \left( 4 + i\right) \cdot z = 3 \cdot i}\)

\(\displaystyle{ z = \frac{3 \cdot i}{4 + i} \cdot \frac{4 - i}{4 - i} = \frac{3 + 12i}{17} = \frac{3}{17} + \frac{12}{17} \ i}\)

Starałem się przedstawić najprostsze możliwe rozwiązania (najszybsze i najbardziej klarowne).