Moduły w liczbach zespolonych

[error91]

Witam zacząłem przedwczoraj studia informatyki i nie mam za bardzo pojęcia oliczbach zespolonych a szczególnie o modułach.

Prosiłbym o wytłmaczenie zadan typu

a) \(\displaystyle{ |i-z| \ge 2}\)

b) \(\displaystyle{ |(2+i)z +5| =3}\)

c) \(\displaystyle{ | \vec{z} +3 +i|=5}\)

d) \(\displaystyle{ |(2+ \vec{i} ) \cdot \vec{z} -7 |=1}\)

[kamil13151]

206336.htm

[chris_f]

W tego typu zadaniach (gdzie występują równania lub nierówności z modułem) najczęściej wykorzystuje się interpretację geometryczną modułu (\(\displaystyle{ |z_1-z_2|}\) to odległość na płaszczyźnie pomiędzy liczbami \(\displaystyle{ z_1}\)i \(\displaystyle{ z_2}\), co w wielu przypadkach od razu daje nam równanie okręgu, elipsy, paraboli lub hiperboli itp.), w praktyce bardzo często takie równanie lub nierówność sprowadzamy do "postaci rzeczywistej" podstawiając \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i rozwiązując równanie lub nierówność. Dla przykładu dwa podpunkty z twojego zadania, np.
b)
\(\displaystyle{ |(2+i)z+5|=3 \\
|(2+i)(x+iy)+5|=3 \\
|2x+2iy+ix-y+5|=3 \\
|2x-y+5+(x+2y)i|=3 \\
\sqrt{(2x-y+5)^2+(x+2y)^2}=3 \\
4x^2+y^2+25-4xy+20x-10y+x^2+4xy+4y^2=9 \\
5x^2+20x+5y^2-10y=-16 \\
5(x^2+4x+y^2-2y)=-16 \\
(x+2)^2-4+(y-1)^2-1=-\frac{16}{5} \\
(x+2)^2+(y-1)^2=\frac{9}{5}}\)
Otrzymaliśmy zatem równanie okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ (-2,1)}\) i promieniu \(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{5}}{5}}\).
d)
\(\displaystyle{ |(2+\bar{i})\cdot\bar{z}-7|=1 \\
|(2-i)(x-iy)-7|=1 \\
|2x-2yi-xi-y-7|=1 \\
\sqrt{(2x-y-7)^2+(-x-2y)^2}=1 \\
4x^2+y^2+49-4xy-28x+14y+x^2+4xy+4y^2=1 \\
5x^2-28x+5y^2+14y=-48 \\
x^2-\frac{28}{5}x+y^2+\frac{14}{5}y=-\frac{48}{5} \\
\left(x-\frac{14}{5}\right)^2-\frac{196}{25}+\left(y+\frac{7}{5}\right)^2-\frac{49}{25}=-\frac{48}{25} \\
\left(x-\frac{14}{5}\right)^2+\left(y+\frac{7}{5}\right)^2=\frac{245}{25}-\frac{48}{5} \\
\left(x-\frac{14}{5}\right)^2+\left(y+\frac{7}{5}\right)^2=\frac{1}{5}}\)
no i tu też mamy okrąg.
W podpunkcie a) dostaniemy okrąg o środku \(\displaystyle{ i}\) - promieniu \(\displaystyle{ 2}\) wraz z jego "zewnętrzem" (bo jest nierówność), w c) znowu okrąg, tyle, ze srodek i promień musisz wyliczyć.

[error91]

Dzięki za pomoc.

Teraz mam problem z innym zadaniem ponieważ u mnie na uczelni jest ono robione jakimś innym sposobem którego nie rozumiem. Mógłby mi ktoś opisać krok pokroku co jest w nim robione byłbym wdzięczny. Próbowałem robic to zadaniem w/w sposobem lecz średnio mi to wychodzi.

\(\displaystyle{ \left| \left( \mathrm i-2 \right) \overline z + 1+ \mathrm i \right| < 3 \sqrt{5} \qquad \qquad \left| \overline z \right| = |z| \\ \\ \\
\left| \mathrm i-2 \right| \left| \overline{z+\overline{ \frac{1+ \mathrm i}{\mathrm i-2}}} \right| < 3 \sqrt{5} \\ \\ \\
\Big / {\hskip -14 pt} \sqrt{5} \left| \overline{z+ \frac{1- \mathrm i}{-2-\mathrm i}} \right| < 3 \ \ \Big / {\hskip -14 pt} \sqrt{5} \\ \\ \\
\left| z+ \frac{1- \mathrm i}{-2-\mathrm i} \right|<3 \\ \\ \\
\left| z- \frac{1- \mathrm i}{2+\mathrm i} \right|<3 \\ \\ \\
\frac{1- \mathrm i}{2+\mathrm i} \cdot \frac{2- \mathrm i}{2- \mathrm i} = \frac{2-\mathrm i -2 \mathrm i - 1}{5} = \frac{1-3 \mathrm i}{5} = \frac{1}{5} - \frac{3}{5} \mathrm i}\)

[chris_f]

Cóż, mimo niechlujnego zapisu domyśliłem się o co chodzi (jakie przekształcenia robiono), skorzystano z trzech własności: jednej, którą masz wypisaną obok \(\displaystyle{ |z|=|\bar{z}|\ \ (*)}\), drugiej mówiącej, że \(\displaystyle{ |z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2|\ \ (**)}\) i trzeciej \(\displaystyle{ \overline{z_1+z_2}=\bar{z_1}+\bar{z_2}\ \ (***)}\) - nie wiem wprawdzie po co sobie tak komplikować życie, ale jak ktoś chce, to czemu nie.
Na początek wyłączono przed nawias po lewej stronie \(\displaystyle{ i-2}\) i skorzystano z \(\displaystyle{ (**)}\) i z \(\displaystyle{ (*)}\) otrzymując, że
\(\displaystyle{ |(i-2)\bar{z}+1+i|=|(i-2)|\left|\overline{\bar{z}+\frac{1+i}{i-2}}\right|}\).
Teraz obliczono \(\displaystyle{ |i-2|=\sqrt{5}}\), skorzystano z \(\displaystyle{ (***)}\) i z faktu, że \(\displaystyle{ \bar{\bar{z}}=z}\) otrzymując lewą stronę równą
\(\displaystyle{ \sqrt{5}\left|z+\frac{\overline{1+i}}{\overline{i-2}}|=\sqrt{5}\left|z+\frac{1-i}{-i-2}\right|}\).
Potem skrócono \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\), minus z mianownika wyszedł przed ułamek i pozbyto się części urojonej z mianownika mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie z mianownika, otrzymując równanie okręgu o środku w \(\displaystyle{ \frac15-\frac35i}\) i promieniu \(\displaystyle{ 3}\).
Jest to dobra i szybka metoda pod jednym warunkiem: doskonale zna się wszystkie własności modułu i sprzężenia oraz wie się do czego się dąży.

Używając metody z podstawianiem \(\displaystyle{ z=x+iy}\) też się dochodzi do tego wyniku (może nie tak "błyskotliwie" ), ale bez większych trudności.

[error91]

Dzięki ,jednak wolę metodę z podstawianiem z tym że robię już ten przykład n-ty raz i nie mogę uzyskać takiego wyniku.

[chris_f]

Dlaczego nie wychodzi?
\(\displaystyle{ |(i-2)\bar{z}+1+i|<3\sqrt{5}}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ z=x+iy}\)
\(\displaystyle{ (i-2)\left(\overline{x+iy}\right)+1+i|=|(i-2)(x-iy)+1+i|=|ix+y-2x+2iy+1+i|=}\)
\(\displaystyle{ =-2x+y+1+i(x+2y+1)|=\sqrt{(-2x+y+1)^2+(x+2y+1)^2}=}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{4x^2+y^2+1-4xy-4x+2y+x^2+4y^2+1+4xy+2x+4y}=}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{5x^2-2x+5y^2+6y+2}}\)
Wracamy do nierówności, podnosimy do kwadratu i mamy
\(\displaystyle{ 5x^2-2x+5y^2+6y+2<45}\)
\(\displaystyle{ x^2-\frac25x+y^2+\frac65y+\frac25<9}\)
\(\displaystyle{ \left(x-\frac15\right)^2-\frac{1}{25}+\left(y+\frac35\right)^2-\frac{9}{25}+\frac{10}{25}<9}\)
\(\displaystyle{ \left(x-\frac15\right)^2+\left(y+\frac35\right)^2<3}\)
No i mamy koło otwarte o środku w \(\displaystyle{ \left(\frac15,-\frac35\right)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 3}\)

PS. W poprzednim poście napisałem "okrąg", a tu oczywiście chodzi o koło otwarte, zapomniałem o nierówności zamiast równości.

[error91]

Może dlatego nie wychodzi bo mam duże braki ze szkoły średniej, ale staram sie nadrabiać

po zabraniu +i nie zostawiłem jedynki

Dziękuję bardzo

[error91]

Witam ponownie , zbliża się kolokwium i mam następujące pytanie do zadania.
\(\displaystyle{ Z ^{2} + (1+2i)z + (i-1) = 0}\)

Przy podstawieniu za z (x+iy) przy podnoszeniu do kwadratu otrzymuje jedno z wyrażen typu 2xiy dzięki wzorom skróconego mnożenia. Dzięki temu staję w miejscu i nie mogę nic dalej zrobić.

Prosiłbym o pomoc i podpowiedzi.

[Dasio11]

Można chwilkę posiedzieć i zauważyć, że

\(\displaystyle{ 1+2 \mathrm i = (1+ \mathrm i)+ \mathrm i \\
\mathrm i -1 = (1+ \mathrm i) \cdot \mathrm i}\)

a więc

\(\displaystyle{ z^2+(1+2 \mathrm i)z+(\mathrm i-1) = (z+1+\mathrm i)(z+ \mathrm i).}\)

Można też skorzystać ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego:

\(\displaystyle{ z_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \\
z_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.}\)

[error91]

a jak obliczyc cos takiego ? Mam znaleźć Re i Im tej liczby

\(\displaystyle{ \sqrt{2 \sqrt{3} + 2i }}\)

[Dasio11]

Rozwiązać równanie

\(\displaystyle{ z^2=2 \sqrt{3}+2 \mathrm i.}\)

Może trochę ułatwi przekształcenie

\(\displaystyle{ \left( \frac{z}{2} \right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \mathrm i}\)

[error91]

Może cos źle robie ale czy

\(\displaystyle{ z^{2} = 2 \sqrt{3} + 2i // :2}\)

to nie jest czasem

\(\displaystyle{ (\frac{z}{2})^{2} = \sqrt{3} + i}\)

??

[Dasio11]

Nie, bo

\(\displaystyle{ \left( \frac{z}{2} \right)^2 = \frac{z^2}{4}.}\)

[error91]

\(\displaystyle{ \left( \frac{z}{2} \right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \mathrm i}\)


rozumiem ze tutaj mam juz do czynienia z postacią trygometryczna ale co z \(\displaystyle{ (\frac{z}{2})^{2}}\) ??


sorry ze truje ale juz mnie łęb od tego wszystkiego boli