Postacie trygonometryczne, obliczanie liczb, pierwiastki

[Mumin_09]

Witam,
mam problem z kilkoma zadankami z liczb zespolonych. Byłbym wdzięczny za wskazówki.

1) Znaleźć postacie trygonometryczne liczb zespolonych, a następnie obliczyć.

a) \(\displaystyle{ Z_{1} = - \sqrt{3} + i}\) oraz \(\displaystyle{ Z_{2} = - 1 - i}\)


\(\displaystyle{ a) Z_{1}^{2} \cdot Z_{2}^{3}}\)

No to najpierw postacie trygonometryczne, wyszły mi:

\(\displaystyle{ - \sqrt{3} + i = 2 (\cos \frac{5}{6}\pi + i \sin \frac{5}{6}\pi )




- 1 - i = \sqrt{2} (cos \frac{5}{4}\pi + i\sin \frac{5}{4}\pi )}\)

Wydaje mi się, że postacie są dobre, bo podpunkt b mi wyszedł, ale a nie chce. Więc robię dalej tak:

\(\displaystyle{ Z_{1}^{2} = 2^{2} (\cos 2 \cdot \frac{5}{6}\pi + i\sin 2 \cdot \frac{5}{6}\pi ) = 4 (\cos \frac{5}{3}\pi + i\sin\frac{5}{3}\pi)


Z_{2}^{3} = \sqrt{2}^{3} (\cos 3 \cdot \frac{5}{4}\pi + i\sin 3 \cdot \frac{5}{4}\pi ) = 2\sqrt{2} (\cos \frac{15}{4}\pi + i\sin \frac{15}{4}\pi )


Z_{1}^{2} \cdot Z_{2}^{3} = 2\sqrt{2} \cdot 4 (\cos (\frac{5}{3}\pi + \frac{15}{4}\pi) + i\sin (\frac{5}{3}\pi + \frac{15}{4}\pi) = ...



ODP: 8\sqrt{2}(- \cos \frac{5}{12}\pi + i \sin \frac{5}{12}\pi )}\)



2) Obliczyć:

\(\displaystyle{ (- \sqrt{3} + i )^{21}}\)

\(\displaystyle{ - \sqrt{3} + i = z}\)

\(\displaystyle{ \left| z \right| = \sqrt{4} = 2}\)

\(\displaystyle{ - \sqrt{3} + i = 2 ( \cos \frac{5}{6}\pi + i\sin \frac{5}{6}\pi )}\)

Czy to dobrze? Gdy robię przez wzór skróconego mnożenia wychodzi dobrze, ale nie wiem czy tak można.

3) Znaleźć pierwiastki liczby zespolonej i zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej:

\(\displaystyle{ \sqrt{3 - 4i}}\)

Za to nie wiem kompletnie jak się zabrać.

[octahedron]

\(\displaystyle{ \sqrt{3 - 4i}=\sqrt{4 - 4i-1}=\sqrt{4 - 4i+i^2}=\sqrt{(2-i)^2}\\
z_1=2-i\\
z_2=-2+i}\)

albo bardziej ogólnie:

\(\displaystyle{ z=a+ib=\sqrt{3-4i}\\
z^2=(a+ib)^2=3-4i\\
a^2+2abi-b^2=3-4i\\
\begin{cases} a^2-b^2=3 \\ 2ab=-4\end{cases}\\
\begin{cases} a^2-\frac{4}{a^2}=3\ /\cdot a^2\\ b=-\frac{2}{a}\end{cases}\\
\begin{cases} a^4-3a^2-4=0 \\ b=-\frac{2}{a}\end{cases}\\
\begin{cases} (a^2+1)(a^2-4)=0 \\ b=-\frac{2}{a}\end{cases}\\
\begin{cases} a^2-4=0 \\ b=-\frac{2}{a}\end{cases}\\
\begin{cases} a=2 \\ b=-1\end{cases}\ \vee\ \begin{cases} a=-2 \\ b=1\end{cases}\\}\)

[Mumin_09]

Ok, dzięki wychodzi A ktoś spojrzy na pozostałe?

Zacząłem robić inny przykład podobny do tego 3)

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-8 -8 \sqrt{3}i}}\)

Najpierw mam wyliczyć \(\displaystyle{ \left| z \right|}\), potem do postaci trygonometrycznej i wtedy wykorzystać wzór na n różnych pierwiastków? czy może też w taki sposób jak został mi pokazany?

[octahedron]

W postaci trygonometrycznej jest prościej, tylko nie muszą wyjść kąty typu \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) itp., ale tutaj wyjdzie. Metodą algebraiczną raczej nie, bo pierwiastek jest czwartego stopnia i taki wyjdzie też wielomian po podniesieniu do potęgi.

[Mariusz M]

octahedron gdyby chciał "algebraicznie" to można policzyć najpierw pierwiastek kwadratowy
a następnie dla każdej obliczonej wartości znowu policzyć pierwiastek kwadratowy
W ten sposób obejdzie się bez równania czwartego stopnia

[octahedron]

Ano racja