Cechy konstytutywne liczb zespolonych

celtrun · Post autor: **celtrun** » 18 wrz 2011, o 00:02

Ciekawi mnie jaki zespół cech musiałaby mieć liczba by była liczbą zespoloną.

pawelsuz · Post autor: **pawelsuz** » 18 wrz 2011, o 10:27

Każda liczba rzeczywista jest zespolona.

celtrun · Post autor: **celtrun** » 18 wrz 2011, o 16:35

Tyle że ma część nierzeczywistą równą 0.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 18 wrz 2011, o 21:36

celtrun pisze:Ciekawi mnie jaki zespół cech musiałaby mieć liczba by była liczbą zespoloną.

Jaka liczba?

JK

celtrun · Post autor: **celtrun** » 19 wrz 2011, o 00:35

Ogólnie co odróżnia liczby zespolone od liczb, których liczby zespolone nie są podzbiorem?

Piotr Pstragowski · Post autor: **Piotr Pstragowski** » 21 wrz 2011, o 14:45

celtrun pisze:Ciekawi mnie jaki zespół cech musiałaby mieć liczba by była liczbą zespoloną.

Nie bierzemy pewnego zbioru "liczb", próbując zakreślić, czym jest "liczba zespolona". Najpierw konstruujemy liczby zespolone, mówimy "to są liczby zespolone i co nie należy do tego zbioru, nie jest liczbą zespoloną", a dopiero potem badamy ich własności.

Jeśli pytasz o to, dlaczego ciało liczb zespolonych jest bardzo ważne, to jest kilka powodów:

1) jest charakterystyki 0
2) jest skończonym rozszerzeniem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)
3) jest algebraicznie domknięte
4) jest ciałem topologicznym i jest lokalnie zwarte
5) wartość bewzględna na liczbach zespolonych jest archimedesowa, tzn., że liczby całkowite mają dowolnie duże wartości bezwzględne

I tak naprawdę jeśli wybierzesz losowo kilka powyższych warunków, to z dużym prawdopodobieństwem jedyne ciała, które je spełniają, to z dokładnością do izomorfizmu liczby zespolone. (Na pewno (2), (1, 3 + mocy continuum) też, (3, 4, 5) też.)