Obliczanie liczby urojonej typu 'część urojona do potęgi'

[assasino]

Mam takie zadanie:

Oblicz \(\displaystyle{ \Im \left( 1+\cos \frac{2 \pi }{3} +i \cdot \sin \frac{2 \pi }{3} \right) ^{27}}\)

Jak to obliczyć?

[Afish]

Przedstawić liczbę w postaci trygonometrycznej i skorzystać ze wzoru de Moivre'a.

[assasino]

Czyli rozwiązanie będzie wyglądało następująco:
\(\displaystyle{ im(1 + cos \frac{2 \pi }{3} + i \cdot sin \frac{2 \pi }{3}) ^{27}}\)
\(\displaystyle{ a= 1+cos \frac{2 \pi }{3} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ b = sin \frac{2 \pi }{3} = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ r = \sqrt{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} + \left( \frac{ \sqrt{3}}{2} \right) ^{2} } = 1}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{ \pi }{3}}\)
Więc postać trygonometryczna wygląda następująco:
\(\displaystyle{ (1 \cdot ( cos \frac{ \pi }{3} +i \cdot sin \frac{ \pi }{3} ) ) ^{27} = 1 ^{27} ( cos \frac{27 \cdot \pi }{3} +i \cdot sin \frac{27 \cdot \pi }{3} )=-1+0 \cdot i=-1}\)

Czy wynik jest poprawny? Czy dobrze to rozumiem?

[Afish]

No prawie dobrze. Wziąłeś część rzeczywistą, a miałeś urojoną Poza tym jest okej.

[assasino]

aha czyli gdyby przed tym nawiasem stało Re to by było to dobrze, a jest Im więc mam z tego wyciągnąć urojoną.

Hmm więc jak to powinno być by było idealnie ?

[Afish]

Część urojona to ta liczba, która stoi przy jednostce urojonej. To właśnie ta liczba jest wynikiem zadania. Czyli tutaj jest to zero.

[assasino]

aha no tak, więc już wszystko jasne. Dzięki za pomoc