postać trygonometryczna liczby zespolonej

[Preciosa28]

Oblicz \(\displaystyle{ z^{12}}\) gdzie z jest rozwiązaniem równania

\(\displaystyle{ (3-2i)z-3i=-1+2i}\)

[bartek118]

No to najpierw rozwiąż równanie

[Preciosa28]

\(\displaystyle{ z=\left(\frac{-1+5i}{3-2i}\right) ^{12}}\)

Wyszło mi takie z tylko nie wiem czy teraz już liczyć "z" jedno z mianownika i jedno z licznika?

[loitzl9006]

Nie. Teraz trzeba przedstawić liczbę zespoloną w postaci \(\displaystyle{ z = a + bi}\) (poprzez dzielenie przez sprzężenie mianownika itd).

\(\displaystyle{ z = \frac{5i-1}{3-2i} = \frac{\left( 5i-1\right) \cdot \left( 3+2i\right) }{\left( 3-2i\right) \cdot \left( 3+2i\right)} = \frac{15i - 10 - 3 - 2i}{9+4} = \frac{13i -13 }{13} = -1+i}\)

\(\displaystyle{ a=-1 \\ b=1}\)

Jak narysujesz sobie liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z=-1+i}\) na płaszczyźnie zespolonej to zauważysz, że moduł liczby \(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{2}}\) i argument \(\displaystyle{ z}\) , czyli \(\displaystyle{ \varphi = \frac{3}{4} \pi}\)

Przedstawiamy liczbę w postaci trygonometrycznej:

\(\displaystyle{ z = \left| z\right| \left( \cos \varphi + i \cdot \sin \varphi \right)}\)

i korzystamy ze wzoru de Moivre'a.

\(\displaystyle{ z ^{12} = \left| z\right| ^{12} \left( \cos \left( 12 \cdot \varphi\right) + i \cdot \sin \left( 12 \cdot \varphi\right) \right)}\)

Pozostaje wstawić \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) i \(\displaystyle{ \varphi}\) do wzoru i obliczyć.

[Preciosa28]

super:) Czyli zawsze jak mam ułamek to muszę mnożyć przez sprężenie? Bo widziałam ze rozbijają ludzie na licznik i mianownik i licza dwa osobno. A co jeśli ułamek nie jest tego samego stopnia?

[loitzl9006]

Jeżeli mianownik jest stopnia np. trzeciego a licznik piątego to trzeba rozbić i oddzielnie policzyć licznik i oddzielnie mianownik.