Równanie kwadratowe

[dog_1]

Mam takie równanie kwadratowe \(\displaystyle{ \left( 5-5j\right) x^{2}-\left( 3-2j\right)x+1=0}\)
Obliczam \(\displaystyle{ \Delta=-4j^{2}+32j-29}\)

Możecie pokierować mnie dalej? Mam standardowo liczyć dalej z tą deltą obliczając\(\displaystyle{ \left| \Delta\right|}\) oraz \(\displaystyle{ \delta}\) ? Czy muszę się pozbyć tej potęgi licząc \(\displaystyle{ \Delta}\) tamtej liczby?

[miki999]

Masz policzyć \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) a następnie \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\)- tak jak w przypadku zwykłych równań kwadratowych.

[dog_1]

Przepraszam!\(\displaystyle{ -4j ^{2} =-4*(-1)=4}\) Muszę się obudzić

Licząc dalej \(\displaystyle{ \left| \Delta\right| = \sqrt{\left( -25\right) ^{2} + 32 ^{2} } = \sqrt{625 + 1024 }=\sqrt{1649}}\)

Tutaj chyba coś nie gra.

[chris_f]

Po pierwsze dobrze policz deltę, bo powinno wyjść \(\displaystyle{ \Delta=-15+8j}\) skąd \(\displaystyle{ |\Delta|=17}\), co niestety wcale nie ułatwia życia (nie da się tak "klasycznie" policzyć pierwiastków, bo nie znajdziesz postaci trygonometrycznej). Ale jednak....

Szukamy pierwiastka z liczby \(\displaystyle{ -15+8j}\), czyli takiej liczby \(\displaystyle{ a+bj}\) (gdzie oczywiście \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R},a,b\neq0}\)), że
\(\displaystyle{ -15+8j=(a+bj)^2=a^2-b^2+2abj}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{c}
a^2-b^2=-15\\
2ab=8\end{array}\right.}\)
Z drugiego mamy \(\displaystyle{ b=\frac4a}\), podstawiamy do pierwszego
\(\displaystyle{ a^2-\frac{16}{a^2}=-15}\)
\(\displaystyle{ a^4-16=-15a^2}\)
\(\displaystyle{ a^4+15a^2-16=0}\)
Podtsawiamu \(\displaystyle{ a^2=u}\)
\(\displaystyle{ u^2+15u-16=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=289,\ \sqrt{\Delta}=17,\ u_1=\frac{-15-17}{2},u_2=\frac{-15+17}{2}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ u_1}\) odrzucamy, czyli \(\displaystyle{ a^2=1\Rightarrow a=1\vee a=-1}\) i ostatecznie dostajemy dwa rozwiązania (dwa pierwiastki z delty)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=1+4j\vee \sqrt{\Delta}=-1-4j}\)
Bierzesz pierwiastek z delty i wstawiasz do wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.

[dog_1]

\(\displaystyle{ \Delta= b ^{2} -4ac

\Delta= -(3-2j) ^{2} -4(5-5j)}\)
Ty natomiast zapisałeś bez tego minusa. I nie jestem tego pewien.

[chris_f]

Przy obliczaniu delty \(\displaystyle{ \Delta=b^2-4ac=[-(3-2j)]^2-4\cdot1\cdot(5-5j)=(3-2j)^2-4(5-5j)=...}\)

[dog_1]

Dobrze, minus jest

Co do dalszych obliczeń po obliczeniu wartości bezwzględnej z delta jest łatwiejszy sposób obliczenie pierwiastka z delty wykorzystująć \(\displaystyle{ \delta}\)
\(\displaystyle{ \delta= \pm \sqrt{ \frac{17+\left( -15\right) }{2} }+ j\sqrt{ \frac{17-\left( -15\right) }{2} }= \pm 1+4j}\)

I oczywiście wyliczyć\(\displaystyle{ x _{1}}\) oraz \(\displaystyle{ x _{2}}\)

[chris_f]

Dobrze, minus jest

Co do dalszych obliczeń po obliczeniu wartości bezwzględnej z delta jest łatwiejszy sposób obliczenie pierwiastka z delty wykorzystująć \(\displaystyle{ \delta}\)
\(\displaystyle{ \delta= \pm \sqrt{ \frac{17+\left( -15\right) }{2} }+ j\sqrt{ \frac{17-\left( -15\right) }{2} }= \pm 1+4j}\)

I oczywiście wyliczyć\(\displaystyle{ x _{1}}\) oraz \(\displaystyle{ x _{2}}\)

Nie wiem skąd wziąłeś coś takiego jak \(\displaystyle{ \pm1+4j}\)

[dog_1]

Oj tam nie znalazłem znaku +- To ten znak wstawiony został wstawiony.